10第十章--直線與圓的方程【講義】(編輯修改稿)
2024-08-18 15:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ；AD：x+y=1；BC：x+y=4.(2) f(x, y)是直線l: yax=k在y軸上的截距，直線l與陰影相交，因?yàn)閍1，所以它過(guò)頂點(diǎn)C時(shí)，f(x, y)最大，C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，7），于是f(x, y)的最大值為3a+7. 如果1a≤2，則l通過(guò)點(diǎn)A（2，1）時(shí)，f(x, y)最小，此時(shí)值為2a1；如果a2，則l通過(guò)B（3，1）時(shí)，f(x, y)取最小值為3a+1.6．參數(shù)方程的應(yīng)用。例7 如圖105所示，過(guò)原點(diǎn)引直線交圓x2+(y1)2=1于Q點(diǎn)，在該直線上取P點(diǎn)，使P到直線y=2的距離等于|PQ|，求P點(diǎn)的軌跡方程。[解] 設(shè)直線OP的參數(shù)方程為（t參數(shù)）。代入已知圓的方程得t2t?2sinα=0.所以t=0或t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα|，而|OP|=t.所以|PQ|=|t2sinα|，而|PM|=|2tsinα|.所以|t2sinα|=|2tsinα|. 化簡(jiǎn)得t=2或t=2或sinα=1.當(dāng)t=177。2時(shí)，軌跡方程為x2+y2=4；當(dāng)sinα=1時(shí)，軌跡方程為x=0.7．與圓有關(guān)的問(wèn)題。例8 點(diǎn)A，B，C依次在直線l上，且AB=ABC，過(guò)C作l的垂線，M是這條垂線上的動(dòng)點(diǎn)，以A為圓心，AB為半徑作圓，MT1與MT2是這個(gè)圓的切線，確定ΔAT1T2垂心 的軌跡。[解] 見(jiàn)圖106，以A為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立坐標(biāo)系，H為OM與圓的交點(diǎn)，N為T1T2與OM的交點(diǎn)，記BC=1。以A為圓心的圓方程為x2+y2=16，連結(jié)OT1，OT2。因?yàn)镺T2MT2，T1HMT2，所以O(shè)T2//HT1，同理OT1//HT2，又OT1=OT2，所以O(shè)T1HT2是菱形。所以2ON=OH。又因?yàn)镺MT1T2，OT1MT1，所以O(shè)N?OM。設(shè)點(diǎn)H坐標(biāo)為（x,y）。點(diǎn)M坐標(biāo)為(5, b)，則點(diǎn)N坐標(biāo)為，將坐標(biāo)代入=ON?OM，再由得在AB上取點(diǎn)K，使AK=AB，所求軌跡是以K為圓心，AK為半徑的圓。例9 已知圓x2+y2=1和直線y=2x+m相交于A，B，且OA，OB與x軸正方向所成的角是α和β，見(jiàn)圖107，求證：sin(α+β)是定值。[證明] 過(guò)D作ODAB于D。則直線OD的傾斜角為，因?yàn)镺DAB，所以2?,所以。所以例10 已知⊙O是單位圓，正方形ABCD的一邊AB是⊙O的弦，試確定|OD|的最大值、最小值。[解] 以單位圓的圓心為原點(diǎn)，AB的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(cosα,sinα),B(cosα,sinα)，由題設(shè)|AD|=|AB|=2sinα，這里不妨設(shè)A在x軸上方，則α∈(0,π).由對(duì)稱性可設(shè)點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)（否則將整個(gè)圖形關(guān)于y軸作對(duì)稱即可），從而點(diǎn)D坐標(biāo)為(cosα+2sinα,sinα)，所以|OD|==因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，|OD|max=+1；當(dāng)時(shí)，|OD|min=例11 當(dāng)m變化且m≠0時(shí)，求證：圓(x2m1)2+(ym1)2=4m2的圓心在一條定直線上，并求這一系列圓的公切線的方程。[證明] 由消去m得a2b+1=+1=0上。設(shè)公切線方程為y=kx+b，則由相切有2|m|=，對(duì)一切m≠0成立。即(4k3)m2+2(2k1)(k+b1)m+(k+b1)2=0對(duì)一切m≠0成立所以即當(dāng)k不存在時(shí)直線為x=1。所以公切線方程y=和x=1.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1．已知兩點(diǎn)A(3,4)和B(3,2)，過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線與線段AB有公共點(diǎn)，則該直線的傾斜角的取值范圍是__________.2．已知
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