形體在計算機內(nèi)的表示(編輯修改稿)
2025-08-15 01:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 生成一個新的面 f2， 由此也刪除了體上的一個通孔。 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)為了方便對形體的修改，還定義了兩個輔助的操作：公共端點。(11)semv(e1,v,e2)， 將邊 e1分割成兩段，生成一個新的點 v和一條新的邊 e2。(12)jekv(e1,e2)， 合并兩條相鄰的邊 e e2， 刪除它們的公共端點。? 以上十種歐拉操作和兩個輔助操作，每兩個一組，構(gòu)成了六組互為可逆的操作。? 可以證明：歐拉操作是有效的，即用歐拉操作對形體操作的結(jié)果在物理上是可實現(xiàn)的；歐拉操作是完備的，即任何形體都可用有限步驟的歐拉操作構(gòu)造出來。 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ) 集合運算? 正則集與正則集合運算算子– 規(guī)定正則形體是三維歐氏空間中的正則集合，因此可以將正則幾何形體描述如下： 設(shè) G是三維歐氏空間中的一個有界區(qū)域，且 G＝bG∪ iG， 其中 bG是 G的 n－ 1維邊界， iG是 G的內(nèi)部。 G的補空間 cG稱為 G的外部，此時正則形體 G需滿足：（ 1） bG將 iG和 cG分為兩個互不連通的子空間；（ 2） bG中的任意一點可以使 iG和 bG連通；（ 3） bG中任一點存在切平面，其法矢指向 cG子空間（ 4） bG是二維流形。 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)? 設(shè) OP是集合運算算子（交、并或差）， R3中任意兩個正則形體 A、 B作集合運算：R=AOPB 運算結(jié)果 R仍是 R3中的正則形體，則稱 OP為正則集合算子。 正則并、正則交、正則差分別記為 ∪ *， ∩*、 *。? 分類 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)? Tilove對分類問題的定義為：設(shè) S為待分類元素組成的集合， G為一正則集合，則 S相對于 G的成員分類函數(shù)為： C(S,G)={S in G， S out G， S on G其中，S in G=S∩iG，S out G=S∩cG，S on G=S∩bG， 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)? 集合運算算法包括以下幾部分：(1)求交：參與運算的一個形體的各拓?fù)湓厍蠼?，求交的順序采用低維元素向高維元素進行。用求交結(jié)果產(chǎn)生的新元素（維數(shù)低于參與求交的元素）對求交元素進行劃分，形成一些子元素。(2)成環(huán)：由求交得到的交線將原形體的面進行分割，形成一些新的面環(huán)。再加上原形體的懸邊、懸點經(jīng)求交后得到的各子拓?fù)湓?，形成一拓?fù)湓厣杉? 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)(3)分類：對形成的拓?fù)湓厣杉械拿恳煌負(fù)湓?，取其上的一個代表點，根據(jù)點 /體分類的原則，決定該點相對于另一形體的位置關(guān)系，同時考慮該點代表的拓?fù)湓氐念愋停雌渚S數(shù)），來決定該拓?fù)湓叵鄬τ诹硪恍误w的分類關(guān)系。(4)取舍：根據(jù)拓?fù)湓氐念愋图捌湎鄬α硪恍误w的分類關(guān)系，按照集合運算的運算符要求，決定拓?fù)湓厥潜Ａ暨€是舍去；保留的拓?fù)湓匦纬梢粋€保留集。(5)合并：對保留集中同類型可合并的拓?fù)湓剡M行合并，包括面環(huán)的合并和邊的合并。 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)(6)拼接：以拓?fù)湓氐墓蚕磉吔缱鳛槠溥B接標(biāo)志，按照從高維到低維的順序，收集分類后保留的拓?fù)湓?，形成結(jié)果形體的邊界表示數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)? 幾何造型中，通常利用集合運算（并、交、差運算）實現(xiàn)復(fù)雜形體的構(gòu)造。集合運算需要大量的求交運算。? 如何提高求交的實用性、穩(wěn)定性、速度、精度等，對幾何造型系統(tǒng)至關(guān)重要。? 歷史上的觀念變化 :簡單體素的精確求交， － NURBS統(tǒng)一求交 歸類求交 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)? 多面體模型– 這種模型的求交計算主要是線段和平面的求交，求交問題的解決相對簡單。– 多面體模型的缺點是明顯的。它只能近似表示形體，同時，復(fù)雜形體表面的離散會帶來巨大的數(shù)據(jù)量。? CSG模型– 在這種模型中，形體通過基本體素的組合來實現(xiàn)。二次曲面的求交是這些造型系統(tǒng)中必不可少的。 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)? 當(dāng)前的幾何造型系統(tǒng)，大多采用精確的邊界表示模型。– 在這種表示法中，形體的邊界元素和某類幾何元素相對應(yīng)，它們可以是直線、圓（圓弧）、二次曲線、 Bezier曲線、 B樣條曲線等，也可以是平面、球面、二次曲面、 Bezier曲面、 B樣條曲面等，求交情況十分復(fù)雜。– 二次曲面與各種自由曲面并存的混合表示模型的采用，導(dǎo)致了歸類求交思想的產(chǎn)生。 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)? “無處不在的求交 ”： GEMS實例 ！ 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)? 實體建模步驟剖析：– 草圖– 拉伸、填 “體、面、環(huán)、點 ”結(jié)構(gòu)– 打孔，直徑為 20cm: 圓柱與立方體的所有面求交線，成環(huán)、重填 “體面環(huán)點 ”結(jié)構(gòu)– 打第二個孔，直徑為 18cm: 圓柱與立方體的所有面、及第一個圓柱面求交線，成環(huán)、重填 “體面環(huán)點 ”結(jié)構(gòu) 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)? 幾何造型系統(tǒng)中，用到的幾何元素： (25種 )– 點： 3D點。– 線： 3D直線段、二次曲線 (包括圓弧和整圓、橢圓弧和橢圓、拋物線段、雙曲線段 )、 Bezier曲線 (有理和非有理 )、 B樣條曲線、 NURBS曲線。– 面：平面、二次曲面 (包括球面、圓柱面、圓錐 /臺面、雙曲面、拋物面、橢球面和橢圓柱面 )、 Bezier曲面 (有理和非有理 )、 B樣條曲面、NURBS曲面。 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)? 將幾何元素進行歸類，利用同一類元素之間的共性來研究求交算法。同時對每一類元素，在具體求交算法中要考慮它們的特性，以提高算法的效率，發(fā)揮混合表示方法的優(yōu)勢。? 求交方法可分為：點點、點線、點面、線線、線面六種。 計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)? 清華大學(xué)的 采用– 點、直線、平面、二次曲線等簡單的幾何元素之間的求交– 直線、平面、二次曲線等簡單的幾何元素與二次曲面之間的求交– 三維點與二次曲線 /曲面之間的求交– 三維點與自由曲線、曲面之間的求交– 二次曲面與二次曲面之間的求
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