直線的斜率與直線方程(編輯修改稿)
2024-12-15 12:55 本頁面
【文章內容簡介】 第一象限，從圖中可以看出直線 l的 斜率的取值范圍為 y k x 3?? 0 3 .?（ ， ）3k.3＞【 拓展提升 】 k與傾斜角 α 之間的關系 α 0176。 0176。 ＜ α ＜ 90176。 90176。 90176。 ＜ α ＜ 180176。 k 0 k＞ 0 不存在 k＜ 0 （ 1）數(shù)形結合法：作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結合正切函數(shù)的單調性確定 . （ 2）構建不等式法：巧妙地利用不等式所表示的平面區(qū)域的性質，抓住斜率 k滿足的不等關系，構造不等式求解 . （ 1）求：求出斜率 k=tan α 的取值范圍 . （ 2）看：借助正切函數(shù)圖像數(shù)形結合得到傾斜角的取值范圍 . 【 變式備選 】 已知實數(shù) x,y滿足 2x+y=8,當 2≤x≤3 時 , 求 的取值范圍 . y1x1??【 解析 】 由 的幾何意義知 ,它表示點 A(1,1)與線段 CD上 任一點 P(x,y)連線的斜率 ,如圖 . ∵ 線段的端點為 C(2,4),D(3,2), ∴ 的取值范圍是 y1x1??A C A DA D A P A C4 1 2 1 3k 5 , k ,2 1 3 1 23 y 1k k k , 5.2 x 1??? ? ? ? ????? ? ? ? ??即y1x1??3,5 .2［ ］考向 2 直線的方程 【 典例 2】 （ 1）若直線 l：（ a+1） x+y+2a=0(a∈R) 在兩坐標軸上截距相等，則 a的值為 ____. （ 2）已知直線 l過點 P（ 3,2） ,且與 x軸、 y軸的正半軸分別交于 A,B兩點 ,如圖所示 ,求△ ABO的面積的最小值及此時直線 l的方程 . 【 思路點撥 】 （ 1）要分截距均為 0，均不為 0兩種情況討論 . （ 2）先設出 AB所在的直線方程，再求 A， B兩點的坐標或得到系數(shù)滿足的關系，將△ ABO的面積用引入系數(shù)表示，最后利用相關的數(shù)學知識求出最值 . 【 規(guī)范解答 】 （ 1）當直線過原點時，該直線在 x軸和 y軸上的 截距均為 0， ∴ a=2； 當直線不過原點時， 由截距相等且均不為 0， 得 即 a+1=1， ∴ a=0. 綜上可知， a=0或 a=2. 答案： 0或 2 a2 a 2 ,a1? ???(2)方法一：由題可設直線 l的方程為 (a＞ 0,b＞ 0), 則 A（ a,0） ,B(0,b). ∵ l過點 P（ 3,2） , 且 a3,b2. 從而 xy 1ab??32 1,ab? ? ?2aba3? ? ，2A B O1 1 2a aS a b a .2 2 a 3 a 3? ? ???? ? ? ?? ?2A B Oa 3 6 a 3 9Sa399a 3 6 2 ( a 3 ) 6a 3 a 312 ,? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????故 有當且僅當 即 a=6時 ,(S△ ABO)min=12, 此時 ∴ 此時直線 l的方程為 即 2x+3y12=0. 方法二：依題意知 ,直線 l的斜率存在 . 設直線 l的方程為 y2=k(x3)(k＜ 0), 則有 A（ 0） ,B(0,23k), 9a 3 ,a3?? ?26b 4 ,63????xy 1,64??23,k?當且僅當 即 時 ,等號成立， S△ ABO取最小值 12. 此時，直線 l的方程為 2x+3y12=0. ? ?? ?? ?? ?? ?A B O12S 2 3k (3 )2k14[ 12 9k ]2k1 4 1[ 12 2 ( 9k ) ] 12 12 12 ,2 k 2? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ??49k ,k???2k3??方法三：由題可設直線方程為 (a＞ 0,b＞ 0), 代入 P（ 3,2） ,得 得 ab≥24, 從而 S△ ABO= ab≥12, 當且僅當 時 ,等號成立 ,S△ ABO取最小值 12，
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