向量與三角形四心教師版資料doc(編輯修改稿)
2025-08-14 00:19 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的面積之比等于從此點(diǎn)出發(fā)分別指向與三個(gè)小三角形相對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)的三個(gè)向量所組成的線性關(guān)系式前面的系數(shù)之比?！ ?yīng)用舉例：設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且，則的面積與的面積之比是： A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：2 分析：由上述結(jié)論易得：，所以，故選D 當(dāng)把這些點(diǎn)特定為三角形的“四心”時(shí)，我們就能得到有關(guān)三角形“四心”的一組統(tǒng)一的向量形式?！∫辏涸O(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且角所對(duì)應(yīng)的邊分別為 結(jié)論1：若為重心，則 分析：重心在三角形的內(nèi)部，且重心把的面積三等分. 結(jié)論2 ：為內(nèi)心，則 分析：內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，且易證S△BOC：S△COA：S△AOB= 結(jié)論3： 為的外心，則 分析： 易證S△BOC：S△COA：S△AOB=sin2A：sin2B：sin2C. 由結(jié)論3及結(jié)論：為的外心，為的垂心，則可得結(jié)論4。 結(jié)論4：若為垂心，則 即 證明：∵對(duì)任意有，其中為外心，為垂心， ∴， 則由平面向量基本定理得：存在唯一的一組不全為0的實(shí)數(shù)，使得， 即，由結(jié)論3得： 所以有：， 所以可得： 化簡(jiǎn)后可得： 應(yīng)用舉例：例1：已知為的內(nèi)心，且，則角的余弦值為 。分析：由結(jié)論2可得，所以由余弦定理可得：例2：已知的三邊長(zhǎng)為，設(shè)的外心為，若， 求實(shí)數(shù)的值?！ 》治觯?，整理后即得：.
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