競(jìng)賽輔導(dǎo)-三角函數(shù)(編輯修改稿)
2024-12-15 05:37 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )， 使得 sin（ cosc）＝ c， cos（ sind）＝ d． 證明：考慮函數(shù) f（ x）＝ cos（ sinx）－ x，在區(qū)間 [0， ]內(nèi)是 單調(diào)遞減的，并且連續(xù)，由于 f（ 0）＝ cos（ sin0）－ 0=10， f（ ）＝ cos（ sin ）－ = cos 1－ 0， ∴ 存在唯一的 d∈ （ 0， ），使 f（ d）＝ 0，即 cos（ sind）＝ d． 對(duì)上式兩邊取正弦，并令 c=sind，有 sin（ cos（ sind））=sin d， sin（ cosc） =c。 顯然 c∈ （ 0， ）。且由 y=sinx在（ 0， ）上的單調(diào)性和 d的 唯一性，知 c也唯一。故存在唯一的 c＜ d，使命題成立。 【 例 5】 α、 β、 γ∈ （ 0， ），且 cotα=α， sin(cotβ)=β，cot(sinγ)=γ。比較 α、 β、 γ的大小。 解： ∵ α、 β、 γ∈ （ 0， )∴ cotβ0， 0 sinγγ ）， ∴ β=sin(cotβ) cotβ， γ=cot (sinγ) cotγ。 作出函數(shù) y=ctgx在（ 0， ）上的圖象，可看出： βαγ。 【 例 6】 n∈ N， n≥2，求證： cos cos cos 證明： ∵ 0
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