【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)。NSHR：剪切應(yīng)力分量的個數(shù)。NTENS：總應(yīng)力分量的個數(shù)，NTENS＝NDI＋NSHR。由于UMAT子程序在單元的積分點上調(diào)用，增量步開始時，主程序路徑將通過UMAT的接口進入UMAT，單元當(dāng)前積分點必要變量的初始值將隨之傳遞給UMAT的相應(yīng)變量。在UMAT結(jié)束時，變量的更新值將通過接口返回主程序。. UMAT的使用方法 我們知道，有限元計算（增量方法）的基本問題[7]是：已知第n 步的結(jié)果（應(yīng)力，應(yīng)變等），然后給出一個應(yīng)變增量，計算，UMAT要完成這一計算，并要計算DDSDDE(I,J)=。是應(yīng)力增量矩陣，是應(yīng)變增量矩陣，DDSDDE(I,J) 定義了第J 個應(yīng)變分量的微小變化對第 I 個應(yīng)力分量帶來的變化。 該矩陣只影響收斂速度，不影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確性 （當(dāng)然，不收斂自然得不到結(jié)果）。 有限元計算的中心問題就是求得節(jié)點的位移 （進而應(yīng)變、應(yīng)力），以使內(nèi)力和 外力達到平衡： （31）d 是節(jié)點位移矩陣，黑體字表示矩陣或矢量。除了小變形、線彈性問題，方程21是非性的，要用迭代的方法解出： （32） (33) i 表示一個增量步內(nèi)的第i 次迭代，n表示第n個增量步。KT是切線剛度，由材料的Jacobian 矩陣結(jié)合單元計算組裝而得。剛度矩陣其實就是力對位移的梯度。要想快速收斂，位移增量應(yīng)沿該梯度方向變化，也就是說，如果Jacobian 矩陣不是那么準(zhǔn)確，自然KT 也不怎么準(zhǔn)確，那么滿足31式的位移被找到的速度也就變慢，甚至發(fā)散，根本找不到。但收斂速度無論慢快，31式才是判斷結(jié)果準(zhǔn)確與否的唯一標(biāo)準(zhǔn)。所以Jacobian 矩陣不影響結(jié)果的準(zhǔn)確性，只影響收斂速度的快慢。 以大變形、非性材料為例，整個計算步驟是這樣的： 整個外力不是一次加上，而是一點點加上的，不然會發(fā)散得不到結(jié)果的。所以，每一個增量步開始時就是在原來的外力上加上一點點，得到。根據(jù)32得到位移增量，此時要知道力對位移的梯度KT，以盡快找到滿足平衡條件的位移，由材料的Jacobian 矩陣和單元結(jié)合起來組裝得到(此處使用UMAT 提供的Jacobian 矩陣)。然后可計算應(yīng)變增量，調(diào)用UMAT，得到新的應(yīng)力，進而得到新的內(nèi)力，所以，程序不在乎新的應(yīng)力是由增量方法得到，還是全量方法得到，而只在乎新應(yīng)力是否準(zhǔn)確。然后回到32，如此循環(huán)，直至32右端為0，也即滿足31。這樣第n+1 步就完成了，然后開始第n+2 步，即 外力加上一點點，按同樣的方法求解新的位移。直至整個外力全部施加并得到滿足31的位移。4. 材料非線性問題 彈性力學(xué)作為精確理論，從本質(zhì)上都是非線性的，早期Cauchy, Green,Kirchhoff和Kelvin在這些方面都作出了重要貢獻。后來又提出超彈性(即具有彈性勢的)有限變形理論，由于理論方程的冗長而復(fù)雜，且工程應(yīng)用也沒有提出這方面要求而被擱置。20世紀(jì)40年代以后，由于橡膠材料、高分子合成材料的迅速發(fā)展和工業(yè)領(lǐng)域的大量應(yīng)用，非線性彈性與超彈性的研究再次引起科學(xué)和工程界的重視，除了一般理論研究有了新的發(fā)展以外，工程應(yīng)用計算方法也得到長足的發(fā)展。. 材料的彈塑性本構(gòu)關(guān)系彈塑性材料進入塑性的特征是當(dāng)荷載卸去后存在不可恢復(fù)的永久變形。所以，在卸載情況下，應(yīng)力應(yīng)變之間不再是唯一的對應(yīng)關(guān)系。這是區(qū)別于非線性彈性材料的基本屬性。只以加載時應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系成非線性，還不足以判斷材料是非線性彈性還是彈塑性。但是一經(jīng)卸載就可以看出兩者的區(qū)別。非線性彈性材料沿原路徑返回，而彈塑性材料將依據(jù)不同的加載歷史卸載后產(chǎn)生不同的永久變形。對大多數(shù)材料來說，在單調(diào)加載的情況下，存在一個明顯的極限應(yīng)力，當(dāng)應(yīng)力低于時，材料保持線彈性。而當(dāng)應(yīng)力達到以后，則材料開始進入彈塑性狀態(tài)。如繼續(xù)加載，然后在卸載，材料始終保持永久的塑性變形。如果應(yīng)力達到后，應(yīng)力不再增加，而材料變形可以繼續(xù)增加，及變形處于不定的流動狀態(tài)，則稱材料為理想彈塑性的。反之如果應(yīng)力達到后，再增加變形，應(yīng)力也必須增加，則材料是應(yīng)變硬化的，這時應(yīng)力是塑性應(yīng)變的函數(shù)，可解析為： (41)本構(gòu)關(guān)系反應(yīng)著應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系。對于彈性材料變形是可以恢復(fù)的；而塑性材料變形是不可以恢復(fù)的。典型的彈塑性應(yīng)變在卸載后要保持一個永久的變形。如圖32圖41 塑性應(yīng)變有下列特性：（1）總應(yīng)變分為彈性和塑性兩部分，即 (42) 或者： (43) （2）塑性變形取決于加載路徑，而應(yīng)力應(yīng)變之間沒有一一對應(yīng)的關(guān)系。所以必須確定二則之間的本構(gòu)關(guān)系，這種本構(gòu)關(guān)系可以用偏微分方程或者增量形式來描述。總之，彈塑性理論主要包括以下幾個方面：（1）應(yīng)變張量的分解；（2）應(yīng)力空間的屈服條件；（3）流動法則；（4）強化法則；（5）協(xié)調(diào)性條件。1：本構(gòu)模型塑性力學(xué)的應(yīng)力應(yīng)變曲線通常有5種簡化模型[8]：（1）理想彈塑性模型，用于低碳鋼或強化性質(zhì)不明顯的材料。（2）線性強化彈塑性模型，用于有顯著強化性質(zhì)的材料。（3）理想剛塑性模型，用于彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變小得多且強化性質(zhì)不明顯的材料。（4）線性強化剛塑性模型，用于彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變小得多且強化性質(zhì)明顯的材料。（5）冪強化模型，為簡化計算中的解析式，可將應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的解析式寫為σ＝σy（ε／εy）n，式中σy為屈服應(yīng)力，εy為與σy相對應(yīng)的應(yīng)變，n為材料常數(shù)。 圖422：屈服條件 在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，判斷物體屈服狀態(tài)的準(zhǔn)則稱為屈服條件[9]。屈服條件是各應(yīng)力分量組合應(yīng)滿足的條件。對于金屬材料，最常用的屈服條件為最大剪應(yīng)力屈服條件（又稱Tresca屈服條件）和彈性形變比能屈服條件（又稱Von Mises條件）。對于巖土材料則常用Tresca屈服條件、DruckerPrager屈服條件和MohrCoulomb屈服條件。對于強化或軟化材料，屈服條件將隨塑性變形的增長而變化，改變后的屈服條件稱為后繼屈服條件。當(dāng)已知主應(yīng)力的大小次序時，使用Tresca屈服條件較為方便；若不知道主應(yīng)力的大小次序，則使用Von Mises屈服條件較為方便。對于韌性較好的材料，Von Mises屈服條件與試驗數(shù)據(jù)符合較好。Von Mises屈服準(zhǔn)則具體形式是，對于各項同性材料，應(yīng)力偏量第二不變量等于某一定值時，材料開始進入了塑性狀態(tài)。 (44) 3：強化法則對理想的彈塑性材料而言，因無強化作用，所以，整個塑性變形過程中，屈服函數(shù)值保持一個常量，強化定義了屈服面在應(yīng)力空間的演化準(zhǔn)則。 (45) 其中，是強化參數(shù)。通常采用的強化法則有以下幾種：(1) 各向同性強化此法則規(guī)定材料進入塑性變形以后，加載曲面在各方向均勻的向外擴張，沒有畸變。而其形狀、中心及其在應(yīng)力空間的方位均保持不變[10]。需要指出的是：各向同性強化法則主要適用于單調(diào)加載情況。如果用于卸載情況，它只適合反向屈服應(yīng)力等于應(yīng)力反轉(zhuǎn)點的材料，而通常材料不具備這種性質(zhì)，因此在塑性力學(xué)中還發(fā)展了其它強化準(zhǔn)則。(2) 隨動強化此法則規(guī)定材料進入塑性狀態(tài)以后，加載曲面在應(yīng)力空間作剛體移動而沒有轉(zhuǎn)動，因此初始屈服面的形狀、大小和方向仍然保持不變。(3) 混合強化把各向同性強化模型和隨動強化模型加以組合，得到混合強化模型。它假定在塑性變形過程中，加載曲面不但作剛性平移，還同時在各個方向作均勻擴大。在以上幾種強化模型中，各向同性強化模型應(yīng)用最為廣泛。本文也是采用該硬化法則，這一方面是由于它便于進行數(shù)學(xué)處理；另一方面，如果在加載過程中應(yīng)力方向（或各個應(yīng)力分量的比值）變化不大，采用各向同性強化模型的計算結(jié)果與實際情況也比要符合。隨動強化模型可以考慮材料的包興格（Bauschinger）效應(yīng)，在循環(huán)加載或可能出現(xiàn)反向屈服的問題中，需要采用這種模型。 由于塑性變形與變形歷史有關(guān)， 因此反映塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的本構(gòu)關(guān)系用應(yīng)變增量形式給出比較方便。用應(yīng)變增量形式表示塑性本構(gòu)關(guān)系的理論稱為塑性增量理論。增量理論的本構(gòu)關(guān)系在理論上是合理的，但應(yīng)用比較麻煩，因為要積分整個變形路徑才能得到最后結(jié)果。因此，又發(fā)展出塑性全量理論，即采用全量應(yīng)力和全量應(yīng)變表示塑性本構(gòu)關(guān)系的理論。在比例變形的條件下，可通過積分增量理論的本構(gòu)關(guān)系獲得全量理論的本構(gòu)關(guān)系。當(dāng)偏離比例變形條件不多時，全量理論的計算結(jié)果和實險結(jié)果比較接近。本文的程序都是基于增量理論。. 非線性有限元算法理論 對于非線性問題，在有限元求解該問題時，對一個自由度總可以表達成，式中，為基本未矢量。如果是線性問題，與無關(guān)，而是一次項，顯然這是一個線性方程。如果與相關(guān)，則方程的出現(xiàn)非一次項，變成非線性問題，在實際工程中，特別是塑性成型問題，材料的幾何方程，本構(gòu)方程以及邊界條件往往是非線性的也體現(xiàn)在中出現(xiàn)了，所以變?yōu)榱朔蔷€性問題，要得到最基本的未知量，就必須求解非線性方程組1：直接迭代法又稱常剛度法[11]，在每次求解前，利用上次的解來求出這一次的值，然后利用和的倒數(shù)的乘積求出的當(dāng)前值 (46) 表達為迭代形式 (47) 上式可以看出，這種方法首先需要有一個初始的值，以便開始迭代。另外，每一次求解都需要對求倒數(shù)，如果求解方程組，就是對剛度矩陣求逆，這種方法在求解中控制兩次求解之差，當(dāng)其值很小時，就認為接近真實值了，迭代結(jié)束 圖432：NewtonRaphson方法NewtonRaphson方法的算法與常剛度法不同[12]，如果得近似表達式是不成立的，存在著殘余值，即，此式也可以作為近似值與真實值的差值量度，實際上在具體計算時，也可以控制其值，當(dāng)極小時，就認為接近真實值了，當(dāng)?shù)诖蔚闹凳钦鎸嵔猓瑒t可以按照Taylor級數(shù)展開得到 圖443：切線剛度法在復(fù)雜非線性問題求解中，剛度與的大小是有一定關(guān)系的，在用增量法來求解這種問題時，就等于結(jié)構(gòu)任一點處力與位移的曲線的局部梯度，稱為切線剛度[13]，剛度矩陣的倒數(shù)很難用自變量顯示表達，通過增量方式求解，在每一步荷載增量范圍內(nèi)把問題線性化，求解方法與NewtonRaphson方法相同總結(jié)以上可以得到： 以上幾種算法中，通過比較，不難發(fā)現(xiàn)，直接迭代法采用了固定的剛度，適合解決非線性程度不高的本構(gòu)關(guān)系，而切線剛度法采用了變化的剛度，在每一步上都做了實時的修正，對非線性程度較高本構(gòu)關(guān)系任然有效，在效率和迭代精度方面，切線剛度法采用的修正更符合非線性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，具有較大的優(yōu)勢，這也是本文采用切線剛度法計算的原因，當(dāng)然，非線性有限元算法還有很多，切線剛度法也不見得就是最好的能解決所有問題的算法，但是它是在程序開發(fā)難度不高和精度方面較高的條件下相對來說最好的 本文采用的本構(gòu)關(guān)系是同性硬化彈塑性模型[14]，采用Mises屈服準(zhǔn)則，下面將根據(jù)J2理論[15]，分別推導(dǎo)常剛度法和切線剛度法計算該問題的的算法公式. 增量理論常剛度法公式推導(dǎo)由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系得： (48) (49) 其中是彈性矩陣，它的表達式為是塑性應(yīng)變增量，它的表達式為其中為等效塑性應(yīng)變增量，它的表達式為為切線模量對于3維空間問題，流動方向：等效應(yīng)力 應(yīng)力偏量 . 增量理論切線剛度法公式推導(dǎo)本文采用的是一種切線剛度法，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為 (410) (411) 314兩端左右同乘 ，得到：對于強化材料，Mises準(zhǔn)則代入可得其中，為等效塑性應(yīng)變增量，它的表達式為由于：由流動法則可知 應(yīng)用上式得所以得到 (412) 這就是切線剛度法的矩陣表達式其中為彈塑性矩陣，在ABAQUS里面稱為雅可比矩陣，它的表達式為其中是彈性矩陣，它的表達式為為塑性矩陣，它的表達式為對于3維空間問題流動方向 所以最后推導(dǎo)可得，彈塑性矩陣的表達式其中 為切線模量，對本構(gòu)關(guān)系求導(dǎo)得到 總結(jié)推導(dǎo)過程：上面的推導(dǎo)過程看似復(fù)雜，其實核心的問題只有一個，即