第六講函數(shù)與方程(編輯修改稿)
2025-07-26 17:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 =x－ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù).由所給定理知，存在唯一的而當(dāng)整數(shù)m1時，類似地，當(dāng)整數(shù)m1時，函數(shù)f(x)=xln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1m)與異號，由所給定理知，存在唯一的故當(dāng)m1時，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實(shí)根。點(diǎn)評：本題以信息給予的形式考察零點(diǎn)的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上。例4．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（ ）A．若，不存在實(shí)數(shù)使得；B．若，存在且只存在一個實(shí)數(shù)使得；C．若，有可能存在實(shí)數(shù)使得； D．若，有可能不存在實(shí)數(shù)使得；解析：由零點(diǎn)存在性定理可知選項(xiàng)D不正確；對于選項(xiàng)B，可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在三個解”推翻；同時選項(xiàng)A可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在兩個解”；選項(xiàng)D正確，見實(shí)例“在區(qū)間上滿足，但其不存在實(shí)數(shù)解”。點(diǎn)評：該問題詳細(xì)介紹了零點(diǎn)存在性定理的理論基礎(chǔ)。題型3：二分法的概念例5．關(guān)于“二分法”求方程的近似解，說法正確的是（）A．“二分法”求方程的近似解一定可將在[a,b]內(nèi)的所有零點(diǎn)得到；B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內(nèi)的零點(diǎn)；C．應(yīng)用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]內(nèi)有可能無零點(diǎn)；D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]內(nèi)的精確解；解析：如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設(shè)，且在區(qū)間內(nèi)存在兩個及以上的實(shí)根，二分法只可能求出其中的一個，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解，二分法的實(shí)施滿足零點(diǎn)存在性定理，在區(qū)間內(nèi)一定存在零點(diǎn)，甚至有可能得到函數(shù)的精確零點(diǎn)。點(diǎn)評：該題深入解析了二分法的思想方法。例6．方程在[0，1]內(nèi)的近似解，用“二分法”計算到達(dá)到精確度要求。那么所取誤差限是（ ）A． B． C． D．解析：由四舍五入的原則知道，當(dāng)時，精度達(dá)到。，選項(xiàng)為C。點(diǎn)評：該題考察了差限的定義，以及它對精度的影響。題型4：應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點(diǎn)和方程的近似解例7．借助計算器，用二分法求出在區(qū)間（1，2）內(nèi)的近似解（）。解析：原方程即。令，用計算器做出如下對應(yīng)值表x－2－1012f(x)27918－觀察上表，可知零點(diǎn)在（1，2）內(nèi)取區(qū)間中點(diǎn)=，且，從而，可知零點(diǎn)在（1，）內(nèi)；再取區(qū)間中點(diǎn)=，且，從而，可知零點(diǎn)在（，）內(nèi)；同理取區(qū)間中點(diǎn)=，且，從而，可知零點(diǎn)在（，）內(nèi)；由于區(qū)間（，）。點(diǎn)評：該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程，通過本題學(xué)會借助精度終止二分法的過程。例8．借助計算器或計算機(jī)用二分法求方程的近似解（精確到）。分析：本例除借助計算器或計算機(jī)確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數(shù)？略解：圖象在閉區(qū)間，上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，在，上至多有一個零點(diǎn)。點(diǎn)評：①第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計算機(jī)或計算器，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通?？纱_定一個長度為1的區(qū)間；②建議列表樣式如下：零點(diǎn)所在區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值
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