羅必達(dá)法則應(yīng)用研討本科畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-25 20:25 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 型，再應(yīng)用羅必達(dá)法則 解：= = = = = =例11：求極限 分析：所求極限是型未定式，但是無(wú)法直接化為型或型的未定式。這時(shí)可從括號(hào)內(nèi)提出無(wú)窮大因子X,先化為型未定式，然后再通過換元化為型未定式求極限 解：= = = = = = 2. 對(duì)于不定型極限，求解的思路一般是通過取對(duì)數(shù)求極限法再應(yīng)用羅必達(dá)法則例12： 求解 這是未定式 設(shè) y= 取對(duì)數(shù)得 lny=xlnx 當(dāng)x時(shí)，上式右端是未定式則 ==0因?yàn)?y=, 而lim y=lim =( 當(dāng)x時(shí)) 所以 ===1例13： 求 解 這是型未定式，恒等變形為 = 由= 所以== 評(píng)析： 此題用恒等變形求解，其實(shí)質(zhì)仍是取對(duì)的思想，但是它避免了引入未知數(shù)從而簡(jiǎn)化解題過程。例14：求W=解： 這是型未定式 因?yàn)? = = =2 所以W=例15：:求W=分析：這是一個(gè)型未定式極限，其求法與類似 解：= = = =1第3章 使用羅必達(dá)法則解題應(yīng)注意的問題在前一章羅必達(dá)法則的定理分析中我已對(duì)定理的條件進(jìn)行了初步分析，下面我將結(jié)合具體例題從正反兩個(gè)方面不同角度來(lái)分析在用羅必達(dá)法則求極限時(shí)應(yīng)注意定理?xiàng)l件從而加深讀者的印像。 在此不再重復(fù)論述。，必須檢查所求極限是否屬于不定型。如果不是就不能再使用。例16： 求分析：此式為型未定式，符合羅必達(dá)法則 解：原式= = = = = 這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的 。此極限雖然屬于型，但問題在于，在繼續(xù)使用羅必達(dá)法則時(shí)沒有堅(jiān)持每次使用羅必達(dá)法則之前都要進(jìn)行檢查。 事實(shí)上，在連續(xù)使用兩次羅必達(dá)法則后，原極限已經(jīng)轉(zhuǎn)化成確定型了，因此正確解法是： （型）（用羅氏法則） =（型） =（確定型） =例17：?jiǎn)朼,b取何值時(shí)，=1成立（a0) 解（1）（）==10（**） 而=0，由此得到=0，于是b=1，所以 = = = ==1即a=4 根據(jù)以上從左到右的推導(dǎo)，問題出在（**）式，即的存在性并沒有論證。根據(jù)羅比達(dá)法則的條件（2），只有當(dāng)存在時(shí)，（**）式才成立，這個(gè)問題往往被人們忽視，因此后面的兩步就失去了根基，所以解法（1）是錯(cuò)誤的。 解（2）（）== 如果b1,則上式等于0，與已知條件矛盾；如果b=1，是型未定式，用羅必達(dá)法則求解，即 （）=（） = = = = ==1即a=4評(píng)析： 解法（2）求出 =后，討論了其存在性，排除b1的情形后，得出b=1；此時(shí)是型未定式，從而可繼續(xù)應(yīng)用羅必達(dá)法則進(jìn)行求解，避免了武斷上述極限存在的錯(cuò)誤。該問題的關(guān)鍵還是討論的存在性，只有它存在，才能使用羅氏定理。每次使用羅必達(dá)法則之前，必須檢驗(yàn)是否屬于不定型。若不是未定式，則不能使用羅氏法則。又如：==，如果不檢驗(yàn)，盲目地繼續(xù)使用羅必達(dá)法則，將得出錯(cuò)誤的結(jié)果：==，也就是說，當(dāng)遇到不存在時(shí)（除外），不能斷定 不存在。這也是將要討論的使用定理的第三點(diǎn)需要注意的地方。 （除外），不能斷定 不存在。 例18：這是一個(gè)型的不定式。如果使用羅必達(dá)法則就得 =但是當(dāng)x時(shí)，sinx cosx 震蕩不定，所以當(dāng)x時(shí)sinx cosx的極限都不存在。但是并不等于說 不存在。事實(shí)上，適當(dāng)變形可得 ====1 例19： 這是一個(gè) 型不定式。如果使用羅必達(dá)法則就得 = 當(dāng)x0時(shí)，的極限不存在，從而不存在。但是使用適當(dāng)變形由極限運(yùn)算法則有===0故存在,函數(shù)式中包含或和當(dāng)時(shí)，函數(shù)式中包含sinx或cosx羅必達(dá)法則失效。例20: 求分析： 此極限是 型不定式，將分子分母分別求導(dǎo)后的極限為由
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