【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )(xg在 ),1???上是單調(diào)增函數(shù)，試求 )(xf的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．解：（1） af??≤0 在 ),(上恒成立，則 a≥ 1， )(???， ．故： ≥1．xg??e)(，若 1≤ a≤e，則 axg???e)(≥0 在 ),1(??上恒成立，此時(shí)， )(在 ),上是單調(diào)增函數(shù)，無最小值，不合；若 ＞e ，則 xe在 ln(， 上是單調(diào)減函數(shù)，在 )(ln??，a上是單調(diào)增函數(shù)， )l)(minag?，滿足．故 a的取值范圍為： ＞e ．（2） xg??e)(≥0 在 ),1(??上恒成立，則 a≤e x，故： a≤ ．1e )0()(??? xaxf．(ⅰ)若 0＜ ≤ ，令 )(f?＞0 得增區(qū)間為(0， )；1e 1a令 )(xf?＜0 得減區(qū)間為( ，﹢∞) ．1a當(dāng) x→0 時(shí)，f(x)→﹣∞；當(dāng) x→﹢∞時(shí)，f (x)→﹣∞；當(dāng) x＝ 時(shí)，f( )＝﹣lna－1≥0，當(dāng)且僅當(dāng) a＝ 時(shí)取等號(hào)．1a 1a 1e故：當(dāng) ＝ 時(shí)，f(x )有 1 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) 0＜ ＜ 時(shí)，f (x)有 2 個(gè)零點(diǎn)．1e 1e(ⅱ)若 a＝0，則 f(x)＝﹣lnx，易得 f(x)有 1 個(gè)零點(diǎn)．(ⅲ)若 a＜0，則 ????a在 ??， 上恒成立，即： fln)(在 )0(， 上是單調(diào)增函數(shù)，當(dāng) x→0 時(shí)，f(x)→﹣∞；當(dāng) x→﹢∞時(shí)，f (x)→﹢∞．此時(shí)，f(x) 有 1 個(gè)零點(diǎn)．綜上所述：當(dāng) a＝ 或 a＜0 時(shí)，f (x)有 1 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) 0＜ a＜ 時(shí)，f (x)有 2 個(gè)零1e 1e28點(diǎn)．2022 江蘇高考數(shù)學(xué)試題及答案29303132333435362022 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)Ⅰ參考公式：（1）樣本數(shù)據(jù) 的方差 ，其中 ．12,nx…??221niisx???1nix?（2）直棱柱的側(cè)面積 ，其中 為底面周長(zhǎng)， 為高．Sch?h（3）棱柱的體積 ，其中 為底面積， 為高．V一、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共計(jì) 70 分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1．已知集合 ， ，則 ▲ ．{1,24}A??{1,02}B??AB??2．函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間是 ▲ ．)(log)(5?xf3．設(shè)復(fù)數(shù) 滿足 （ 為虛數(shù)單位） ，則 的實(shí)部是 ▲ zii3z．4．根據(jù)如圖所示的偽代碼，當(dāng)輸入 分別為 2，3 時(shí)，最后輸出的 的ba, m值為 ▲ ．5．從 1，2，3，4 這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率是 ▲ ．6．某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別是 10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差2s? ▲ ．7．已知 ，則 的值為 ▲ tan()24x??xtan．8．在平面直角坐標(biāo)系 中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線Oy與函數(shù) 的圖象交于 、 兩點(diǎn)，則線段xf2)(?PQ長(zhǎng)的最小值是 ▲ ．PQ9．函數(shù) （ ， ， 是常數(shù)，()sin()fA???A， ）的部分圖象如圖所示，則 的值是 ▲ ．0?(0)f10．已知 ， 是夾角為 的兩個(gè)單位向量， ， ，若 ，1e??2?312ae????12bke???0ab???Read a，bIf ab Then m←aElse m←bEnd IfPrint m xyO3?7122?37則實(shí)數(shù) 的值為 ▲ ．k11．已知實(shí)數(shù) ，函數(shù) ，若 ，則 的值為0?a????????1,2)(xaxf )1()(aff??? ▲ ．12．在平面直角坐標(biāo)系 中，已知點(diǎn) 是函數(shù) 的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖OyP)0()?xef象在 處的切線 交 軸于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 的垂線交 軸于點(diǎn) ，設(shè)線段 的PlMlyNM中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，則 的最大值是 ▲ ．t13．設(shè) ，其中 成公比為 的等比數(shù)列， 成公差127aa??…7531,aq642,a為 1 的等差數(shù)列，則 的最小值是 ▲ ．q14．設(shè)集合 ， ，?(,)|Axy22()my????,xyR??(,)|Bxy?my??， ，若 ， 則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ▲ ．2??R?B???m二、解答題：本大題共 6 小題，共計(jì) 90 分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15． （本小題滿分 14 分）在 中，角 的對(duì)邊分別為 ．ABC?, cba,（1）若 ，求 的值；sin()2cos6A???（2）若 ， ，求 的值．1co3bCin16． （本小題滿分 14 分）如圖，在四棱錐 中，平面 平面ABDP?PA?， ， ， 分別是ABCD?60???,EF的中點(diǎn)．,P求證：（1）直線 平面 ；/EFC（2）平面 平面 ．?17． （本小題滿分 14 分）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD 是邊長(zhǎng)為60cm 的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得 A，B，C，D 四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn) P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn) 在 AB 上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x （cm ） ．PEFABCD38（1）某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積 S（cm 2）最大，試問 x 應(yīng)取何值？（2）某廠商要求包裝盒的容積 V（cm 3）最大，試問 x 應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值． A60EFBxxCDP18． （本小題滿分 16 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中， 分別是橢圓 的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原xOy,MN124??yx點(diǎn)的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) 在第一象限，過 作 軸的垂線，垂足為 ，,PAPPC連接 ，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn) ．設(shè)直線 的斜率為 ．CBAk（1）當(dāng)直線 平分線段 ，求 的值；k（2）當(dāng) 時(shí)，求點(diǎn) 到直線 的距離 ；k?d（3）對(duì)任意 ，求證： ．0?PAB?19． （本小題滿分 16 分）已知 是實(shí)數(shù)，函數(shù) ， ， 和 是 和,ab3()fxa??2()gxb??)(xf?g?()fx的導(dǎo)函數(shù)．若 在區(qū)間 上恒成立，則稱 和 在區(qū)間 上()gx0??gI I單調(diào)性一致．（1）設(shè) ，若 和 在區(qū)間 上單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；0?)(xf ),1[??b（2）設(shè) 且 ，若 和 在以 為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求a?b?f(xg,abxyBPCOAMN39的最大值．||ab?20． （本小題滿分 16 分）設(shè) 為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列 的首項(xiàng) ，前 項(xiàng)的和為 ，已知對(duì)M}{na1?nnS任意整數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， 都成立．k?nk?)(2knkSS???（1）設(shè) ， ，求 的值；{1}?2a5（2）設(shè) ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式．3,4}{n2022 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）21．[選做題] 本題包括 A、 B、 C、 D 四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．選修 41：幾何證明選講（本小題滿分 10 分）如圖，圓 與圓 內(nèi)切于點(diǎn) ，其半徑分別為 與 （1O2A1r2） ．圓 的弦 交圓 于點(diǎn) （ 不在 上） ．12r?B2COAB求證： 為定值．:ACB．選修 42：矩陣與變換（本小題滿分 10 分）已知矩陣 ，向量 ．求向量 ，使得 ．12???????A12?????????2??AC．選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程40（本小題滿分 10 分）在平面直角坐標(biāo)系 中，求過橢圓 （ 為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且與直線xOy5cos3inxy?????（ 為參數(shù)）平行的直線的普通方程．423xty?????D．選修 45：不等式選講（本小題滿分 10 分）解不等式： ．|21|3x???【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計(jì) 20 分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22． （本小題滿分 10 分）如圖，在正四棱柱 中， ，1ABCD?12A?，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，點(diǎn) 在 上．1AB?NMC設(shè)二面角 的大小為 ．?（1）當(dāng) 時(shí)，求 的長(zhǎng)；90??A（2）當(dāng) 時(shí)，求 的長(zhǎng)．6cos?C23． （本小題滿分 10 分）設(shè)整數(shù) ， 是平面直角坐標(biāo)系 中的點(diǎn)，其中 ，4n?(,)PabxOy,ab???12,3n…．a(chǎn)b?（1）記 為滿足 的點(diǎn) 的個(gè)數(shù)，求 ；nA3??PnA（2）記 為滿足 是整數(shù)的點(diǎn) 的個(gè)數(shù)，求 ．B1()abBABCD11BCDNM41424344452022 年江蘇高考數(shù)學(xué)試題填空題46設(shè)集合 A={1,1,3}，B={ a+2,a2+4},A∩B={3} ，則實(shí)數(shù) a=______▲________簡(jiǎn)析：由集合中元素的互異性有 a+2=3 或 a2+4=3，?a=1 或 a2=－1(舍) ?a=1設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 z(23i)=6+4i（其中 i 為虛數(shù)單位） ，則 z 的模為______▲________簡(jiǎn)析：由題意?z= = = =2i?|z|=26+4i2－ 3i (6+4i)(2+3i)13 26i13盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若從中隨機(jī)地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是_▲__簡(jiǎn)析：12某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了 100 根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)） ，所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的 100 根中，有_▲___根在棉花纖維的長(zhǎng)度小于 20mm。簡(jiǎn)析：觀察頻率分布直方圖，知有 5100=30 根長(zhǎng)度小于 20mm設(shè)函數(shù) f(x)=x(ex+aex),(x∈R)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) a=_______▲_________簡(jiǎn)析：由偶函數(shù)?f( －x)=f(x) ?x(e x+aex)=－x(e x+aex) ?x(ex+ex)(1+a)=0 a=－1?x∈ R O度 度 m度 度度 403530252022105在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，雙曲線 － =1 上一點(diǎn) M，點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)是 3，則 M 到x24 y212雙曲線右焦點(diǎn)的距離是___▲_______簡(jiǎn)析：法一 ——直接運(yùn)用焦半徑公式求。因焦半徑知識(shí)課本中未作介紹，此不重點(diǎn)說明； 法二 ——基本量法求解。由題意知右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F(4,0)，M 點(diǎn)坐標(biāo)為(3 ,177。 )15?MF=4右圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出 S 的值是______▲_______簡(jiǎn)析：讀圖知這是計(jì)算 S=1+21+22+…+2n 的一個(gè)算法，由 S=2n－1?33 且 n 為正整數(shù)知 n=5時(shí)跳出循環(huán)，此時(shí)，輸出 S=1+21+22+…+25=63函數(shù) y=x2(x0)的圖像在點(diǎn)(a k,ak2)處的切線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ak+1,k 為正整數(shù)，a1=16，則 a1+a3+a5=____▲_____開始 S←1 n←1 S←S+2 n S≥33n←n+1 否輸出 S 結(jié)束是47簡(jiǎn)析：對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得 y?=2x (x0)，據(jù)題意，由 a1=16=24 依次求得a2=8，a 3=4，a 4=2，a 5=1，所以 a1+a3+a5=21在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知圓 x2+y2=4 四個(gè)點(diǎn)到直線 12x－5y+c=0 的距離為 1，則實(shí)數(shù) c 的取值范圍是______▲_____簡(jiǎn)析：若使圓上有且僅有四點(diǎn)到直線 12x－5y+c=0 距離為 1，則圓心到該直線之距應(yīng)小于1，即 1，解得 c?(－13,13)|c|13定義在區(qū)間(0, )上的函數(shù) y=6cosx 的圖像與 y=5tanx 的圖像的交點(diǎn)為 P，過點(diǎn) P 作?2PP1⊥x 軸于點(diǎn) P1,直線 PP1 與 y=sinx 的圖像交于點(diǎn) P2,則線段 P1P2 的長(zhǎng)為_______▲_____簡(jiǎn)析：由題意知線段 P1P2 長(zhǎng)即為垂線 PP1 與 y=sinx 圖像交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。 由 ?6cosx=5tanx?6cos2x=5sinx?6sin2x+5sinx－6=0 sinx= ? P1P2={y=6cosxy=5tanx) ?x?(0) 23231已知函數(shù) f(x)= ,則滿足不等式 f(1－x 2)f(2x)的 x 的范圍是____▲____{x2+1， x?01 ， x0)簡(jiǎn)析：設(shè) t=1－ x2，當(dāng) x－1 時(shí)，t0，2x－2；f(1－x 2)=1，f(2x)=1? f(1 －x 2)= f(2x)； 當(dāng) x1 時(shí)，t0 ，2x2，f(1－x 2)=1，f(2x)=(2x) 2+15，顯然不滿足 f(1－x 2)f(2x)當(dāng)－1?x0 時(shí)，t?0，2x0，所以 f(1－x 2)=(1－x 2)2+1?1，f(2x)=1 ，?f(1－x 2)f(2x) (x?－1)；當(dāng) 0?x?1 時(shí)，t?0，2x?0，所以 f(1－x 2)=(1－x 2)2+1?1，f(2x)=(2x) 2+1，由 f(1－x 2)f(2x)? (1－x 2)2+1(2x)2+1?x4－6x 2+10?0?x －12