【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 小二乘法（PLS）及因子分析法（FA）等。多元統(tǒng)計(jì)分析方法是一種不依賴于過(guò)程機(jī)理的建模方法, 它只需通過(guò)過(guò)程數(shù)據(jù)的信息來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模, 然后基于該模型實(shí)現(xiàn)對(duì)過(guò)程的監(jiān)測(cè)。隨著DCS（distributed control system）以及PIS（plant information system）等先進(jìn)控制設(shè)備在生產(chǎn)系統(tǒng)中的應(yīng)用, 采集和存儲(chǔ)大量實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)變得相當(dāng)便捷, 這就為多元統(tǒng)計(jì)分析方法在故障監(jiān)測(cè)與診斷中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。由于間歇反應(yīng)的數(shù)據(jù)具有多維性的特點(diǎn),傳統(tǒng)的主元分析方法會(huì)使過(guò)程的統(tǒng)計(jì)建模與故障診斷變得難以實(shí)現(xiàn)。主元分析(PCA)是一種在間歇過(guò)程故障檢測(cè)等方面已經(jīng)獲得廣泛應(yīng)用的數(shù)據(jù)處理工具,它通過(guò)將多變量高維數(shù)據(jù)空間投影到相對(duì)獨(dú)立的低維空間，得到最大化數(shù)據(jù)方差的正交投影軸以達(dá)到消除數(shù)據(jù)相關(guān)性的目的 [1]。MPCA實(shí)際上是將間歇過(guò)程的多維數(shù)據(jù)沿著時(shí)間軌跡進(jìn)行分割,是主元分析(PCA)在三維數(shù)據(jù)陣的擴(kuò)展應(yīng)用。MPCA的核心思想是通過(guò)將相關(guān)的一組數(shù)據(jù)集進(jìn)行降維，并盡量保留原來(lái)數(shù)據(jù)集的的變化信息 [1]。降維的實(shí)現(xiàn)主要通過(guò)將原變量集轉(zhuǎn)換成一組互不相關(guān)的新變量集(即所謂的潛隱變量)，這些新變量按照方差的大小進(jìn)行排列。如此，新變量集中的前若干個(gè)變量便保留了原始變量的絕大部分變化信息。對(duì)于主元分析方法來(lái)說(shuō)，如何求取隱變量或者主元是十分重要的。對(duì)于線性主元分析方法，主元的求取要涉及到一個(gè)正定矩陣的特征值分解問(wèn)題，而對(duì)于非線性主元分析方法，則要考慮通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法來(lái)求取主元 [2]。 PCA基本原理 主元分析簡(jiǎn)介主元分析（Principal Component Analysis，PCA）或者主成分分析，是一種掌握事物主要矛盾的統(tǒng)計(jì)分析方法，它可以從多元事物中解析出主要影響因素，揭示事物的本質(zhì)，簡(jiǎn)化復(fù)雜的問(wèn)題。計(jì)算主成分的目的是將高維數(shù)據(jù)投影到較低維空間。給定 n 個(gè)變量的 m 個(gè)觀察值，形成一個(gè) n m的數(shù)據(jù)矩矩陣， n通常比較大。對(duì)于這樣一個(gè)由多個(gè)變量?描述的復(fù)雜事物，如果事物的主要方面剛好體現(xiàn)在幾個(gè)主要變量上，只需要將這幾個(gè)變量分離出來(lái)，進(jìn)行詳細(xì)分析。但是，在一般情況下，并不能直接找出這樣的關(guān)鍵變量。這時(shí)可以用原有變量的線性組合來(lái)表示事物的主要方面， PCA 就是這樣一種分析方法。 主元分析的意義PCA（主元分析）是1991年提出的，是一種掌握事物主要矛盾的統(tǒng)計(jì)分析方法，它可以從多元事物中解析出主要影響因素，揭示事物的本質(zhì)，簡(jiǎn)化復(fù)雜的問(wèn)題。簡(jiǎn)單的說(shuō)PCA在實(shí)驗(yàn)中的主要應(yīng)用：數(shù)據(jù)降維——最少的信息丟失將眾多原有變量濃縮成少數(shù)幾個(gè)主元因子，主元通常是原有變量的線性組合。簡(jiǎn)單地說(shuō)，在保證原始數(shù)據(jù)大部分信息不丟失的情況下，通過(guò)一定的線性變換，PCA就是將高維的數(shù)據(jù)通過(guò)線性變換投影到低維空間上去，這個(gè)投影要遵循一個(gè)指導(dǎo)思想——找出最能夠代表原始數(shù)據(jù)的投影方法，也就是說(shuō)，被PCA降掉的那些維度只能是那些噪聲或是冗余的數(shù)據(jù)。這里的噪聲和冗余可以這樣認(rèn)識(shí)：找出幾組也就是最能代表原始數(shù)據(jù)的線性組合。找出的線性組合我們稱之為主元，線性組合的維數(shù)稱之為主元個(gè)數(shù)。 主元分析的基本原理前面已經(jīng)提到，PCA的目的就是“降噪”和“去冗余”?！敖翟搿钡哪康木褪鞘贡Ａ粝聛?lái)的維度間的相關(guān)性盡可能小，而“去冗余”的目的就是使保留下來(lái)的維度含有的“能量”即方差盡可能大。首先，要知道各維度間的相關(guān)性以及個(gè)維度上的方差，能同時(shí)表現(xiàn)不同維度間的相關(guān)性以及各個(gè)維度上的方差的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就是非協(xié)方差矩陣。協(xié)方差矩陣度量的是維度與維度之間的關(guān)系，而非樣本與樣本之間。協(xié)方差矩陣的主對(duì)角線上的元素是各個(gè)維度上的方差(可以稱之為能量)元素是兩兩維度間的協(xié)方差(即相關(guān)性)。通過(guò)矩陣對(duì)角化進(jìn)行降噪，消除各變量間相關(guān)性，而對(duì)角化后得到的矩陣，其對(duì)角線上是協(xié)方差矩陣的特征值，它有兩個(gè)身份：首先，它還是各個(gè)維度上的新方差；其次，它是各個(gè)維度本身應(yīng)該擁有的能量(能量的概念伴隨特征值而來(lái))。通過(guò)對(duì)角化后，剩余維度間的相關(guān)性已經(jīng)減到最弱，已經(jīng)不會(huì)再受“噪聲”的影響。“降噪”后開(kāi)始“去冗余”。對(duì)角化后的協(xié)方差矩陣，對(duì)角線上較小的新方差對(duì)應(yīng)的就是那些該去掉的維度 [12]?，F(xiàn)在只取那些含有較大能量(特征值)的維度，其余的就舍掉即可。PCA的本質(zhì)其實(shí)就是對(duì)角化協(xié)方差矩陣。 主元個(gè)數(shù)的提取累計(jì)方差貢獻(xiàn)率法作為一種可適應(yīng)于所有的情況方法，成為確定主元個(gè)數(shù)的通用方法。主元貢獻(xiàn)率法因其簡(jiǎn)單、直觀、方便等特點(diǎn)，在很多文章中得到了采用，在本文中也主要采用這種方法，用來(lái)確定主元個(gè)數(shù)。累計(jì)方差貢獻(xiàn)率（Cumulative Percent Variance, CPV）法是根據(jù)主元方差的累計(jì)和百分比來(lái)確定主元個(gè)數(shù)。累計(jì)方差貢獻(xiàn)率反映了所確定的主元模型反映原數(shù)據(jù)信息的程度。由于數(shù)據(jù)矩陣主元方差等價(jià)于協(xié)方差矩陣的特征值，所以也把矩陣 的協(xié)方差矩陣的前 k個(gè)特征值的和除以它的所有特X征值的和稱為 的前 k個(gè)主元的累計(jì)貢獻(xiàn)率，它表示了前 k個(gè)主元所解釋的數(shù)據(jù)變X化占全部數(shù)據(jù)變化的比例。因此前 k個(gè)主元的累計(jì)貢獻(xiàn)率CPV可以表示為 [1]： ()??niiCPV1?其中 為第i個(gè)特征值。當(dāng) 個(gè)主成分的累積貢獻(xiàn)率超過(guò)一定的指標(biāo)后 （一般85%?k足夠），我們就可以認(rèn)為已求的主元個(gè)數(shù) 可以綜合原數(shù)據(jù)足夠多的信息。k 主元模型假設(shè) 是一個(gè) 的數(shù)據(jù)矩陣，其中的每一列對(duì)應(yīng)于一個(gè)變量，每一行對(duì)應(yīng)Xnm?于一個(gè)樣本。矩陣 可以分解為 個(gè)向量的外積之和，即 () 12nXtptp?????在式()中， 被稱為得分(score)向量， 稱為負(fù)荷(Loading)向miRt?iR?量。 的得分向量也叫做 的主元。式()也可寫為下列矩陣形式：X ()XTP??其中 稱為得分矩陣， 稱為負(fù)荷矩陣。??12,mtt??? ??np,?21各個(gè)得分向量之間是正交的，即對(duì)任何 和 ，當(dāng) 時(shí)，滿足 。各個(gè)ijij?0ijt??負(fù)荷向量之間也是互相正交的，同時(shí)每個(gè)負(fù)荷向量的長(zhǎng)度都為1，即 ()0?jTipji 1ji ji?()當(dāng)矩陣 中的變量間存在一定程度的線性相關(guān)時(shí)，數(shù)據(jù) 的變化將主要體現(xiàn)X X在最前面的幾個(gè)負(fù)荷向量方向上，數(shù)據(jù)矩陣 在最后面的幾個(gè)負(fù)荷向量上的投影X將會(huì)很小，它們主要是由于測(cè)量噪聲引起的。這樣就可以將矩陣 進(jìn)行主元分解后寫成下式 [3]： ()12kXtptpE??????式中 為誤差矩陣，代表 在 到 等負(fù)荷向量方向上的變化。Ean所謂的主元模型，指的是對(duì)來(lái)自正常穩(wěn)態(tài)工況下的訓(xùn)練集進(jìn)行主元分析后得到的一系列統(tǒng)計(jì)信息，主要包括：變量均值向量、變量方差矩陣 、協(xié)方差矩陣?D、主元方差矩陣 、負(fù)荷矩陣 以及主元數(shù) 等。將反映過(guò)程正常運(yùn)行的歷史??DPk數(shù)據(jù)收集起來(lái)，對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行主元分析，建立主元模型。由于主元分析的結(jié)果受數(shù)據(jù)尺度的影響，因此在進(jìn)行主元分析時(shí)，需要先將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，即將每個(gè)變量的均值減掉然后除以它的標(biāo)準(zhǔn)差。即 [6]：　 ()， ｎ????,21,)(/*iXVarEiii這樣原數(shù)據(jù)集就變換為均值為0, 方差為1的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集。對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)進(jìn)行主元分析，如果只取前 個(gè)主元，那么可以得到下面的k主元模型 [14]： ()12kpXtptEX???????式中 ()12pktt??? ()1ATTiXPp???原測(cè)量數(shù)據(jù)集可表示為 ()E??從式() 可以看出原正常工況下的歷史數(shù)據(jù)集可分解為兩部分, 即一部分信息投影到主元子空間中, 另一部分則投影到殘差子空間。這樣, 如果原系統(tǒng)中存在著大量的冗余, 那么利用 A 個(gè)方向向量確定的子空間, 即PCA空間, 就能對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行很好的描述, 而PCA子空間代表X的特征空間, 是 很好的估計(jì)。X? 基于MPCA的故障檢測(cè)方法 MPCA理論 MPCA是主元分析法（PCA）在三維數(shù)據(jù)陣的擴(kuò)展上的應(yīng)用 [1]。對(duì)于間歇反應(yīng)過(guò)程來(lái)說(shuō)，其數(shù)據(jù)樣本通?？梢钥醋鳛橐粋€(gè)三維的立體數(shù)據(jù)塊, （PCA）只能用來(lái)處理二維數(shù)據(jù)，而處理一個(gè)這樣的三維立體數(shù)據(jù)塊，一個(gè)有效的想法就是對(duì)其進(jìn)行重新排列。MPCA的基本思想是將一個(gè)三維的立體數(shù)據(jù)塊X沿著時(shí)間軸方向進(jìn)行切分，然后將切分得到的數(shù)據(jù)時(shí)間片依次向右水平排列，如此構(gòu)成了一個(gè)新的二維數(shù)據(jù)陣，然后使用主元分析方法進(jìn)行分析 [6]。不同于連續(xù)生產(chǎn)過(guò)程，間歇過(guò)程的歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)以批次為單位構(gòu)成三維數(shù)據(jù)矩陣，批次( I) 變量( J) 時(shí)間( K)， [8]。? MPCA數(shù)據(jù)矩陣沿時(shí)間軸分解圖,每一時(shí)間點(diǎn)上都是二維數(shù)據(jù),如果大量采集正常批次的數(shù)據(jù)樣本,那么它們代表了在不同的時(shí)間序列中不同的批次的相同變量的統(tǒng)計(jì)特性。通常統(tǒng)計(jì)控制指標(biāo)有以下3種,它包括預(yù)Q統(tǒng)計(jì)量,得分Score和Hotelling T2統(tǒng)計(jì)量。 基于MPCA故障檢測(cè)的統(tǒng)計(jì)量及其控制限故障檢測(cè)是多元統(tǒng)計(jì)過(guò)程監(jiān)控的第一步，通常用 統(tǒng)計(jì)量和Q統(tǒng)計(jì)量以及得分2Score來(lái)進(jìn)行故障檢測(cè) [1]。(1)Score ()imijxp??1t (2)Q統(tǒng)計(jì)量（預(yù)測(cè)誤差平方和SPE）Q統(tǒng)計(jì)量衡量樣本向量在殘差空間投影的變化，Q統(tǒng)計(jì)量通常也稱為SPE統(tǒng)計(jì)量，其計(jì)算式為X(1) X(2) X(3) X(K)變量(J)1 J 2J KJ 時(shí)間(K)批次(I)()??xPIxIQTT)()(?? Q統(tǒng)計(jì)量的閾值計(jì)算式可以近似為 ()20 01/2201()chh???????（其中， ， 為 X的協(xié)方差矩陣 的特征2022(,3)3/miijjA???????值， A為PCA模型的主元個(gè)數(shù)， m為樣本的維數(shù)。統(tǒng)計(jì)量SPE在第 i時(shí)刻的值 是一個(gè)標(biāo)量,它刻畫了此時(shí)刻測(cè)量值XI對(duì)主元模型ie的偏離程度,由于由多個(gè)變量的綜合作用而成,因而SPE圖可以同時(shí)對(duì)多變量工況進(jìn)行監(jiān)控 [6]。(3)Hotelling的 統(tǒng)計(jì)量 [7]2TH