中考高分的十八個(gè)關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)3函數(shù)知識(shí)的三個(gè)支點(diǎn)(編輯修改稿)
2025-07-25 03:05 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在軸上，點(diǎn)B在軸上。將折疊，使BO邊落在BA邊上，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合，折痕為BC； （1）求直線BC的解析式；CDBA （2）求經(jīng)過(guò)B，C，A三點(diǎn)的拋物線的解析式；若拋物線的頂點(diǎn)為M，試判斷點(diǎn)M是否在直線BC上，并說(shuō)明理由。 【觀察與思考】對(duì)于（1），先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求BC的解析式； 對(duì)于（2），用待定系數(shù)法求出過(guò)B，C，A三點(diǎn)的拋物線的解析式，再驗(yàn)證它的頂 點(diǎn)是否在BC上。解：（1） ∽,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）。設(shè)直線BC的解析式為，則由 解得 （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)B（），C（1，0），A（3，0）的拋物線的解析式為，由，解得所以拋物線的解析式為，其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)M不在直線BC上。【說(shuō)明】由以上兩例可以看出，用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式的多種變化與復(fù)合形式，解法的恰當(dāng)選擇基于對(duì)相關(guān)知識(shí)的融會(huì)貫通。用“列式法”確定函數(shù)關(guān)系式 所謂用列式法確定函數(shù)關(guān)系的表達(dá)式，就是根據(jù)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系直接列出用自變量的代數(shù)式來(lái)表示函數(shù)，這樣的情況也是很多的。 例4 學(xué)校體育室準(zhǔn)備添置20副乒乓球拍和若干乒乓球，兩家體育用品商店的零售價(jià)都是每副乒乓球拍20元，每個(gè)乒乓球元，且都表示對(duì)集體購(gòu)買優(yōu)惠：甲店買一副乒乓球拍贈(zèng)送5個(gè)乒乓球，再對(duì)總價(jià)打9折；乙店統(tǒng)一按定價(jià)的8折出售。 （1）設(shè)體育室外除了買20副乒乓球拍外，再需購(gòu)買個(gè)乒乓球，若在甲店購(gòu)買付款數(shù)額為（元），在乙店購(gòu)買付款數(shù)額為（元），分別寫出，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式。 （2）就購(gòu)買乒乓球數(shù)討論在哪個(gè)店購(gòu)買較合算？ 【觀察與思考】對(duì)于（1），可用直接列式法求出，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式。對(duì)于（2），實(shí)際是比較在什么范圍時(shí)，兩個(gè)函數(shù)中哪個(gè)函數(shù)值較小。 解：（1）（2）假設(shè)購(gòu)買個(gè)乒乓球時(shí)，甲商店合算，即，也即，解得。同理可得 。這就是說(shuō)，當(dāng)購(gòu)買的乒乓球個(gè)數(shù)不超過(guò)233個(gè)時(shí)，在甲商店買合算；當(dāng)購(gòu)買的乒乓球個(gè)數(shù)超過(guò)233個(gè)時(shí)，在乙店買合算。 【說(shuō)明】與實(shí)際相關(guān)的問(wèn)題需建立函數(shù)關(guān)系式時(shí)，大都需要借助直接列式法。ACBQPR 例5 如圖，在P為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，四邊形PQRC為矩形，其中點(diǎn)Q，R分別在AB，BC上，設(shè)AP的長(zhǎng)為，矩形PQRC的周長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式。 【觀察與思考】只需用表示出QP和PC即可。解：∽?！菊f(shuō)明】相當(dāng)多的幾何圖形中變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在建立函數(shù)關(guān)系式時(shí)，也多是利用“直接列式法”。從某個(gè)等量關(guān)系中導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系式 有時(shí)不易用自變量及已知數(shù)量把函數(shù)直接表示出來(lái)，可根據(jù)所給條件先建立包括“函數(shù)”、自變量、與已知數(shù)量的某個(gè)（或某些）等式，再?gòu)闹袑?dǎo)出函數(shù)關(guān)系式來(lái)。CAPBQ 例6 如圖，已知直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)A（2，0），B（0，2），P。連結(jié)BP，過(guò)P作交過(guò)點(diǎn)A的直線（它與軸垂直）于點(diǎn)C。求之間的函數(shù)關(guān)系式。解：在中，），∽。從中解得【說(shuō)明】幾何圖形中有關(guān)函數(shù)關(guān)系式的建立，有不少情況需借助這種“等式導(dǎo)出法”。 例7 某中學(xué)足球隊(duì)參加全市中學(xué)足球聯(lián)賽，比賽記分規(guī)則如下表。聯(lián)賽共進(jìn)行了12輪（即每隊(duì)比賽了12場(chǎng)），該中學(xué)足球隊(duì)共得19分。若勝的場(chǎng)數(shù)為，負(fù)的場(chǎng)數(shù)為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式。勝一場(chǎng)平一場(chǎng)負(fù)一場(chǎng)積分310【觀察與思考】可借助勝、平、負(fù) 的場(chǎng)數(shù)以及得分的關(guān)系導(dǎo)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式。解：設(shè)平的場(chǎng)數(shù)為，則根據(jù)條件有 從兩個(gè)等式中消去，得。【說(shuō)明】本題是從三個(gè)變量的兩個(gè)等量關(guān)系中導(dǎo)出兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系式。 當(dāng)我們需要建立函數(shù)關(guān)系式時(shí)，可從以下三條途徑中選擇： 借助“待定系數(shù)法”；運(yùn)用“直接列式法”；運(yùn)用“等式導(dǎo)出法”。三、用性質(zhì) 函數(shù)的性質(zhì)，主要是指一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)增減性和二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)等。對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考查，主要有兩個(gè)層面：一是對(duì)給定的函數(shù)確定其某個(gè)方面的性質(zhì)，二是利用函數(shù)的性質(zhì)，解決某相關(guān)
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