【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 001=nxoxaxpx+dxnyoyaypy+dynzozazpz+dz0001 ()這個(gè)變換方程也可表示為以下形式： Fnew=Transdx,dy,dzFold ()這里可以看到三點(diǎn)：1，將坐標(biāo)系左乘變換矩陣得到新坐標(biāo)系的位置，這種處理方法適應(yīng)于任何形式的變換；2，純平移后，新坐標(biāo)系的位置分量由原來(lái)分量加上位移分量得到，而坐標(biāo)系的位姿分量保持不變；3，齊次變換矩陣相乘后，矩陣的維數(shù)保持不變。 旋轉(zhuǎn)齊次變換為了方便推導(dǎo)繞軸旋轉(zhuǎn)的表達(dá)式，假設(shè)該坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，并且三坐標(biāo)軸兩兩平行，將推導(dǎo)出的表達(dá)式推廣到其他旋轉(zhuǎn)或者旋轉(zhuǎn)組合。繞軸旋轉(zhuǎn)的過(guò)程可描述為：假設(shè)待旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系n,o,a位于參考坐標(biāo)系x,y,z原點(diǎn)位置，該坐標(biāo)系繞參考坐標(biāo)系的x軸旋轉(zhuǎn)一定角度θ，現(xiàn)假設(shè)有一點(diǎn)P在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上，它相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)為Px,Py,Pz，相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的三維坐標(biāo)為Pn,Po,Pa。P點(diǎn)會(huì)隨著坐標(biāo)系繞參考坐標(biāo)系x軸旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)之前，在參考坐標(biāo)系和運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中P點(diǎn)的坐標(biāo)是相同的，本身兩個(gè)坐標(biāo)系的軸也是平行的。旋轉(zhuǎn)后，P點(diǎn)坐標(biāo)在參考坐標(biāo)系中坐標(biāo)改變了，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中卻沒(méi)有改變。本小節(jié)需求出P點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)后相對(duì)于固定參考坐標(biāo)系的新坐標(biāo)。 點(diǎn)P相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)是Px,Py,Pz，而相對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（點(diǎn)P所固連的坐標(biāo)系）的坐標(biāo)仍為Pn,Po,Pa。，Py和Pz隨坐標(biāo)系統(tǒng)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)而改變，而Px卻沒(méi)有改變，可以證明： Px=Pn Py=l1l2=PocosθPasinθ Pz=l3+l4=Posinθ+Pacosθ ()用矩陣表示為： PxPyPz=1000cosθsinθ0sinθcosθPnPoPa ()(a) 旋轉(zhuǎn)前(b) 旋轉(zhuǎn)后 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)前后的點(diǎn)的坐標(biāo) 相對(duì)于參考坐標(biāo)系的點(diǎn)的坐標(biāo)和從x軸上觀察旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系由上可得：為了獲得旋轉(zhuǎn)變換后的坐標(biāo)值，需拿旋轉(zhuǎn)前的矩陣左乘旋轉(zhuǎn)矩陣，這也同樣適用于所有繞參考坐標(biāo)系x軸做純旋轉(zhuǎn)的變換可以簡(jiǎn)潔地表示為： Pxyz=Rotx,θPnoa ()注意在式()中，旋轉(zhuǎn)矩陣的第一列表示相對(duì)于x軸的位置，其值為1，0，0，它表示沿x軸的坐標(biāo)沒(méi)有改變。為簡(jiǎn)化書寫，習(xí)慣用符號(hào)Cθ表示cosθ以及用Sθ表示sinθ。因此，旋轉(zhuǎn)矩陣也可寫為： Rotx,θ=1000CθSθ0SθCθ ()可用類似的方法來(lái)分析坐標(biāo)系繞參考坐標(biāo)系y軸和z軸旋轉(zhuǎn)的情況，推導(dǎo)結(jié)果為： Roty,θ=Cθ0Sθ010Sθ0Cθ () Rotz,θ=CθSθ0SθCθ0001 ()將這三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣擴(kuò)展為44矩陣后便得到了齊次旋轉(zhuǎn)矩陣，表示為： Rx,θ=10000CθSθ00SθCθ00001 () Ry,θ=Cθ0Sθ00100Sθ0Cθ00001 () Rz,θ=CθSθ00SθCθ0000100001 () 復(fù)合齊次變換復(fù)合變換是指一系列純平移與繞軸旋轉(zhuǎn)按照一定次序變換的組合?？臻g的任何運(yùn)動(dòng)或者變換都可以分解為一組旋轉(zhuǎn)與平移變換的順序組合。例如，為了進(jìn)行某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，可以將坐標(biāo)系或者剛體先沿x軸平移，再繞y，z軸旋轉(zhuǎn)，最后再繞某軸平移。復(fù)合變換重要的是一個(gè)個(gè)基本變換的順序，如果順序錯(cuò)了，變換的總體效果就會(huì)不同。為了推導(dǎo)復(fù)合變換表示方法，假定坐標(biāo)系n,o,a相對(duì)于參考坐標(biāo)系x,y,z依次進(jìn)行了下面三個(gè)變換：繞x軸旋轉(zhuǎn)α度；接著平移l1l2l3（分別相對(duì)于x,y,z軸）；最后繞y軸旋轉(zhuǎn)度。比如點(diǎn)Pnoa固定在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，開(kāi)始時(shí)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的原點(diǎn)與參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合。隨著坐標(biāo)系n,o,a相對(duì)于參考坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)或者平移時(shí)，坐標(biāo)系中的P點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系也跟著改變。第一次變換后，P點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)可用式()表示出來(lái)： P1,xyz=Rotx,αPnoa ()其中，P1,xyz是經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)過(guò)后相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)。經(jīng)過(guò)平移過(guò)后，該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)可表示為： P2,xyz=Transl1,l2,l3P1,xyz=Transl1,l2,l3Rotx,αPnoa ()最后，經(jīng)過(guò)最后一次旋轉(zhuǎn)過(guò)后，該點(diǎn)的坐標(biāo)為：Pxyz=P3,xyz=Roty,βP2,xyz=Roty,βTransl1,l2,l3Rotx,αPnoa() 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)方程本節(jié)主要應(yīng)用DH表示法推導(dǎo)出機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。DH表示法是1955年Denavit和Hartenberg在一篇論文中提出的一種對(duì)機(jī)器人建模的方法。這種方法簡(jiǎn)單、適用于各種機(jī)械臂的構(gòu)型，對(duì)于結(jié)構(gòu)順序復(fù)雜的機(jī)械臂構(gòu)型也無(wú)影響[17]。DH模型可以表示諸如直角坐標(biāo)、球坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)、歐拉角坐標(biāo)及RPY坐標(biāo)的變換，也可以表示SCARA類型機(jī)器人、各種鏈?zhǔn)綑C(jī)器人的數(shù)學(xué)建模。DH表示法在當(dāng)今機(jī)器人建模中已經(jīng)越來(lái)越普遍，本文所研究的六自由度機(jī)械臂，采用DH表示法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[18]。機(jī)械臂正運(yùn)動(dòng)學(xué)，是已知各個(gè)關(guān)節(jié)的變量，從而求解得到所期望的末端位姿。將機(jī)械臂可以看作由連桿通過(guò)關(guān)節(jié)的移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)串聯(lián)起來(lái)的開(kāi)式鏈。在每個(gè)連桿上建立坐標(biāo)系，對(duì)這些坐標(biāo)系間的關(guān)系進(jìn)行描述。在本文中，我用到了DH算法，這種方法簡(jiǎn)單適用于各種機(jī)械臂的構(gòu)型，對(duì)于結(jié)構(gòu)順序復(fù)雜的構(gòu)型也無(wú)影響。 連桿坐標(biāo)系一般機(jī)器人是由多個(gè)關(guān)節(jié)和連桿構(gòu)成，關(guān)節(jié)既有呈線性滑動(dòng)的，也有旋轉(zhuǎn)的，關(guān)節(jié)與關(guān)節(jié)之間可能處于任意的位置或者不同平面內(nèi)。連桿長(zhǎng)度可以是任意的，可能存在直線與彎曲狀態(tài)，各連桿可能不在同一平面上。這里需要能夠?qū)θ我庖唤M連桿和關(guān)節(jié)構(gòu)成的機(jī)器人建模分析。按照上述方法，每個(gè)關(guān)節(jié)可以當(dāng)做一個(gè)剛體處理，為每個(gè)關(guān)節(jié)建立一個(gè)參考坐標(biāo)系，從確定一個(gè)關(guān)節(jié)的姿態(tài)位置，根據(jù)基本變換推導(dǎo)得到下一個(gè)關(guān)節(jié)的姿態(tài)位置，以此類推，得到每一個(gè)關(guān)節(jié)的姿態(tài)位置，最后求得機(jī)械臂的末端位姿。將每一個(gè)關(guān)節(jié)到關(guān)節(jié)的基本變換結(jié)合起來(lái)，就可以得到機(jī)械臂的總變換矩陣。本文利用DH算法，為關(guān)節(jié)建立參考坐標(biāo)系，得出每?jī)蓚€(gè)相鄰關(guān)節(jié)間的變換矩陣，從而得出總變換矩陣。 ：(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 通用關(guān)節(jié)連桿組合的DH表示為了推導(dǎo)出適用于任意構(gòu)型機(jī)器人總變換方程，假定一個(gè)機(jī)器人由任意多個(gè)連桿和關(guān)節(jié)以任意的形式組成。(a)中所示，由不在同一平面的三個(gè)關(guān)節(jié)和不在同一平面的兩個(gè)連桿構(gòu)成機(jī)器人的一部分。這一小部分可能不會(huì)與實(shí)際中的機(jī)器人相似，但是它具有代表性，可以表示任何機(jī)器人的關(guān)節(jié)，無(wú)論是滑動(dòng)的還是旋轉(zhuǎn)的。(a)中的3關(guān)節(jié)既可以轉(zhuǎn)動(dòng)也可以平移。為了方便描述，將第一個(gè)關(guān)節(jié)指定為關(guān)節(jié)n，中間的指定為關(guān)節(jié)n+1，最后一個(gè)指定為關(guān)節(jié)n+2。這三個(gè)關(guān)節(jié)只是從機(jī)器人關(guān)節(jié)中截取部分類似的，在關(guān)節(jié)n與關(guān)節(jié)n+1之間的連桿用n指代，關(guān)節(jié)n+1與關(guān)節(jié)n+2之間的連桿用n+1指代。對(duì)機(jī)器人建模的第一步是為每個(gè)關(guān)節(jié)指定一個(gè)本地的參考坐標(biāo)系。DH表示法，只需要為每個(gè)關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系指定z軸和x軸，不需要指定y軸，因?yàn)閥軸一直是垂直于x軸和z軸組成的平面。下面給出了DH表示法中指定每個(gè)關(guān)節(jié)參考坐標(biāo)系的一般步驟：任何關(guān)節(jié)都用z軸表示，如果是滑動(dòng)關(guān)節(jié)，則z軸沿關(guān)節(jié)滑動(dòng)的直線方向。如果關(guān)節(jié)是旋轉(zhuǎn)的，則z軸為按右手定則旋轉(zhuǎn)的方向。不管是滑動(dòng)還是旋轉(zhuǎn)，關(guān)節(jié)n處的z軸下標(biāo)為n1。比如，關(guān)節(jié)n+1處的z軸表示為zn。根據(jù)這些規(guī)則，我們可以定出所有關(guān)節(jié)的z軸?；瑒?dòng)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量時(shí)沿z軸的連桿長(zhǎng)度d。對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量是繞z軸旋轉(zhuǎn)的角度（θ角）。(a)所示，幾個(gè)關(guān)節(jié)并不平行或者相交，屬于異面直線。這樣，z軸是斜線，但在空間中總能找到一條距離最短的公垂線正交于這兩條異面直線，即正交于相鄰的兩個(gè)z軸。我們把x軸的方向定義在該公垂線的方向上。所以如果an表示zn1與zn之間的公垂線，則xn的方向?qū)⒀豠n。同樣，在zn與zn+1之間的公垂線為an+1，xn+1的方向?qū)⒀豠n+1。由于相鄰關(guān)節(jié)可能不在同一平面上，這樣相鄰關(guān)節(jié)的公垂線也有可能不相交或者共線，原點(diǎn)也就可能不會(huì)重合。綜合以上的規(guī)則，就可以為每個(gè)關(guān)節(jié)定義參考坐標(biāo)系了。如果相鄰關(guān)節(jié)的z軸平行，就可以找到無(wú)數(shù)條公垂線，為了簡(jiǎn)化模型，可以挑選與前一關(guān)節(jié)的公垂線共線的一條公垂線。如果兩個(gè)相鄰關(guān)節(jié)的z軸是相交的，那他們共面，也就不存在公垂線。這時(shí)可以取一條垂直于這兩個(gè)z軸構(gòu)成的平面的直線作為x軸。即在兩條z軸的向量積方向選取一條直線x軸，模型同樣得到了簡(jiǎn)化。（a）中，θ角表示繞z軸的旋轉(zhuǎn)角，即旋轉(zhuǎn)變量，d表示在z軸上兩條相鄰的公垂線之間的距離，一般當(dāng)相鄰z軸平行時(shí)，d的值為0，a表示每一條公垂線的長(zhǎng)度,，角α表示兩個(gè)相鄰的z軸之間的角度。通常，只有θ和d是關(guān)節(jié)變量。 連桿參數(shù)機(jī)械臂各個(gè)連桿中有4個(gè)參數(shù)，可用這4個(gè)參數(shù)對(duì)連桿進(jìn)行描述。 an是關(guān)節(jié)軸線之間的距離，即沿xn軸從zn到zn+1移動(dòng)的距離 αn是關(guān)節(jié)軸線之間的夾角，即沿xn軸從zn到zn+1轉(zhuǎn)動(dòng)的角度dn是公垂線之間的距離，即沿zn軸從xn1到xn移動(dòng)的距離 θn是公垂線之間的夾角，即沿zn軸從xn1到xn轉(zhuǎn)動(dòng)的角度如果是滑動(dòng)關(guān)節(jié)，dn是變量，其它三個(gè)參數(shù)不變；如果是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，θn是變量，其它三個(gè)參數(shù)不變。 連桿坐標(biāo)變換本節(jié)將推導(dǎo)連桿變換的表達(dá)式，需要進(jìn)行幾個(gè)連續(xù)的變換，將一個(gè)參考坐標(biāo)系變換到另一個(gè)參考坐標(biāo)系。假定現(xiàn)在處于坐標(biāo)系xnzn，下面通過(guò)四步變換轉(zhuǎn)換到下個(gè)坐標(biāo)系xn+1zn+1。繞zn軸旋轉(zhuǎn)角度θn+1（(a)與(b)所示），讓xn平行于xn+1，介于an和 an+1同時(shí)垂直于zn軸，這樣繞zn軸旋轉(zhuǎn)θn+1就可以使它們平行。接著沿zn軸平移dn+1距離，讓xn和xn+1共線（(d)所示）。因?yàn)閤n和 xn+1在前都一步已經(jīng)平行并且垂直于zn，沿著zn平移就可使他們重疊。再沿xn軸平移an+1的距離，讓xn和xn+1的原點(diǎn)重合（(f)和(c)所示）。這時(shí)兩個(gè)參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合。最后將zn軸繞xn+1軸旋轉(zhuǎn)αn+1，使得zn軸與zn+1軸重合（(e)所示）。這時(shí)坐標(biāo)系n和n+1已經(jīng)重合了（(g)所示）。至此，經(jīng)過(guò)這四步，我們從一個(gè)坐標(biāo)系變換到了下一個(gè)坐標(biāo)系。仿照上面四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)步驟，可以同樣的將n+1坐標(biāo)系變換到n+2坐標(biāo)系中去。按照相同步驟，可以將所有相鄰坐標(biāo)系這樣變換。從參考坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到機(jī)械臂基座所在的坐標(biāo)系，之后到第一個(gè)關(guān)節(jié)，第二個(gè)，直至到最后。上面的四個(gè)步驟具有通用性，所有坐標(biāo)系之間的變換都可以采用同樣的步驟。機(jī)器人的變換矩陣A可以通過(guò)右乘表示上面四個(gè)變換的矩陣來(lái)得到，矩陣A表示四個(gè)變換的復(fù)合變換。之所以四個(gè)矩陣用右乘是因?yàn)樗凶儞Q都是相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系變換。具體的表達(dá)式如式[19]()：nTn+1=An+1=Rotz,θn+1Tran0,0,dn+1Tranan+1,0,0 Rotx,αn+1 =Cθn+1Sθn+100Sθn+1Cθn+1000010000110000100001dn+10001 100an+101000010000110000Cαn+1Sαn+100Sαn+1Cαn+100001 () An+1=Cθn+1Sθn+1Cαn+1Sθn+1Sαn+1an+1Cθn+1Sθn+1Cθn+1Cαn+1Cθn+1Sαn+1an+1Sθn+10Sαn+1Cαn+1dn+10001 ()從機(jī)器人的基座開(kāi)始，可以從第一個(gè)關(guān)節(jié)開(kāi)始一個(gè)個(gè)往下變換，直到機(jī)器人的手，最終到末端執(zhí)行器。若把每個(gè)變換定義為一個(gè)矩陣，則可以得到許多表示變換的矩陣。在機(jī)器人的基座與手之間的總變換可以用各個(gè)分變換矩陣依次相乘： RTH=RT11T22T3?n1Tn=A1A2A3?An ()由于是六自由度的機(jī)械臂，所以機(jī)器人的基座與手之間的總變換矩陣表示為： T60=T11T22T3?T6=A1A2A3?A6 () DH表示法參考系坐標(biāo)圖 根據(jù)DH算法，通過(guò)連桿變換中的四步變換，得出以下機(jī)械臂各連桿參數(shù)， 機(jī)械臂DH參數(shù)關(guān)節(jié)aαdθ100d1θ12090od20300d304090o0θ45090od406090o00依照DH算法原理，可以得到六個(gè)坐標(biāo)變換矩陣的表達(dá)式以下6個(gè)表達(dá)式：T1=Cθ1Sθ100Sθ1Cθ10000