【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （21Swo??19）他的使用條件是： 1）彼此互不相溶，不起化學(xué)反應(yīng)的油水兩相同時(shí)流動(dòng)； 2）不考慮毛管力及重力作用； 3）巖石和流體均不可壓縮； 4）滲流符合線性滲流定律； 5）滲流過程是等溫的。如果研究的是油水兩相穩(wěn)定滲流過程，那么液體飽和度將不隨時(shí)間變化，即，得：0tSwo?? （20PKo??????????20） （2w??????21）以上兩式即為油水兩相穩(wěn)定滲流的綜合微分方程。 有限差分法 有限差分法：數(shù)值求解常微分方程或偏微分方程的方法。物理學(xué)和其他學(xué)科領(lǐng)域的許多問題再被分析研究之后，往往可以歸結(jié)為常微分方程和偏微分方程的求解問題。一般說來，處理一個(gè)特定的物理問題，除了需要知道它滿足的數(shù)學(xué)方程外，還應(yīng)當(dāng)同時(shí)知道這個(gè)問題的定解條件，然后才能設(shè)計(jì)出行之有效的計(jì)算方法來求解。有限差分法以變量離散取值后對(duì)應(yīng)的函數(shù)值來近似微分方程中獨(dú)立變量的連續(xù)取值。在有限差分方法中，我們放棄了微分方程中獨(dú)立變量可以取連續(xù)值的特征，而關(guān)注獨(dú)立變量離散值后對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。但是從原則上說，這種方法仍然可以達(dá)到任意滿意的計(jì)算精度。因?yàn)榉匠痰倪B續(xù)數(shù)值解可以通過減小獨(dú)立變量離散取值的間格，或者通過離散點(diǎn)上的函數(shù)值差值計(jì)算來近似得到。這種方法是指隨著計(jì)算機(jī)的誕生和應(yīng)用而發(fā)展起來的。其計(jì)算格式和程序的設(shè)計(jì)都比較直觀和簡(jiǎn)單，因而，它的實(shí)際應(yīng)用已經(jīng)構(gòu)成了計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算物理的重要組成部分。有限差分法的具體操作可分為兩個(gè)部分：中國(guó)石油大學(xué)（華東）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）13 （1）用差分代替微分方程中的微分，將連續(xù)變化的變量離散化，從而得到差分方程組的數(shù)學(xué)形式；（2）求解差分方程組。 在第一步中，我們通過所謂的網(wǎng)絡(luò)分割法，將函數(shù)定義域分成大量相鄰而不重合的子區(qū)域。通常采用的是規(guī)則的分割方式，這樣可以便于計(jì)算機(jī)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)和減少計(jì)算的復(fù)雜性。網(wǎng)路線劃分的交點(diǎn)成為節(jié)點(diǎn)。若與某個(gè)節(jié)點(diǎn) P 相鄰的節(jié)點(diǎn)都是定義在場(chǎng)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)，則 P 點(diǎn)稱為非正則節(jié)點(diǎn)。在第二步中，數(shù)值求解的關(guān)鍵就是要應(yīng)用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，求得特定問題在所有這些節(jié)點(diǎn)上的離散近似值。有限差分法的差分格式：一個(gè)函數(shù)在 x 點(diǎn)上的一階和和二階微商，可以近似地用它所臨近的兩點(diǎn)上的函數(shù)值的差分來表示。如對(duì)一個(gè)單變量函數(shù) f(x)，x 為定義在區(qū)間[a,b]的連續(xù)變量。以步長(zhǎng) 將[a,b] 區(qū)間離散化，我們得到一系列節(jié)點(diǎn) =a,h?? 1, ，然后求出 f(x)在這些點(diǎn)上的近x2ax,x2312 ????hbhn??1，?似值。顯然步長(zhǎng) h 越小，近似解的精度就越好。與節(jié)點(diǎn) 相鄰的節(jié)點(diǎn)有 和 ，ixhi?xi?因此在 點(diǎn)可以構(gòu)造如下形式的差值：i 節(jié)點(diǎn) 的一階向前差分),((iixff?ix 節(jié)點(diǎn) 的一階向后差分)hii i 節(jié)點(diǎn) 的一階中心差分)((ffii?i與 點(diǎn)相鄰兩代男的泰勒展開式可以寫為ix （2???????? )(!4)(!3)(2)()(( 39。39。39。39。 iiiiii xfhxffhxffhf22） （2??? )(!4)(!3)(2)()(( 39。39。39。39。 iiiiii xfhxfxfhxffhxf23） （222）（223） ，并忽略 h 的平方和更高階的項(xiàng)得到一階微分的中心差商表示：。 （2fff iii)(39。 ??24）利用（222）和（223）式我們還可以得到一階微分的向前，向后一階差商表示：， （2hxffxf iii )(()39。 ?25）。 （2fffiii )()(39。 ??中國(guó)石油大學(xué)（華東）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）14 26）將（222）和（223）式相加，忽略 h 的立方及更高階的項(xiàng)得到二階微分的中心差商表示： 。 （2239。 )())()xffhxff iiii ????27）利用（224）~（227）式，我們就可以構(gòu)造出微分方程的差分格式。這里要指出的是：在構(gòu)造差分格式時(shí)，究竟應(yīng)該選擇向前，向后還是中間差分或差商來代替微分方程中的微分或微商，應(yīng)當(dāng)根據(jù)由此得到的差分方程解的穩(wěn)定性和收斂性來考慮。同時(shí)兼顧到差分格式的簡(jiǎn)單和求解的方便。上述差分步驟應(yīng)用于偏微分：例如，對(duì)于 的情況，拉普拉斯算符在 0 點(diǎn)作用在此函數(shù)上的值),(yxf?，也可以用臨近的點(diǎn)上的函數(shù)值來表示出來。 （見圖 ，且?????????222xff時(shí)）hh?4321 （2??????????44220431 !yfxhfff28）圖 21 節(jié)點(diǎn) 0 及其附近節(jié)點(diǎn)對(duì)微分方程數(shù)值求解的誤差來源：（1）方法誤差（或截?cái)嗾`差） 。這時(shí)由于采用的計(jì)算方法所引起的誤差。例如上中國(guó)石油大學(xué)（華東）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）15 面我們介紹的差商表示中，采用的泰勒展開式展開到第 n+1 項(xiàng)時(shí)的截?cái)嗾`差 。)(1?nhO具體方法的誤差階數(shù)取決于在離散化時(shí)的近似階數(shù)。因此若改進(jìn)算法就可以減少截?cái)嗾`差。（2）舍入誤差（或計(jì)算誤差） 。這是由于計(jì)算機(jī)的有限字長(zhǎng)而造成數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中的表示出現(xiàn)誤差。在計(jì)算機(jī)運(yùn)算的過程中，隨著運(yùn)算次數(shù)的增加舍入誤差會(huì)積累的很大。如果在多次運(yùn)算后，舍入誤差的精度影響是有限的，那么這個(gè)算法是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定的算法是不能用的。第 3 章 油水兩相滲流機(jī)理和求解 數(shù)學(xué)模型的建立假設(shè)條件如下：（1）油藏中僅存在油水兩相滲流，油水互不溶解，且各自符合達(dá)西定律；（2）巖石、流體均可壓縮；（3）考慮掩飾的非均質(zhì)性及各向異性；（4）不考慮油水之間毛管力的影響；（5）忽略重力；這里根據(jù)數(shù)學(xué)模型的一般式，經(jīng)逐步簡(jiǎn)化，得到實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行單管模型的一維水驅(qū)油實(shí)驗(yàn)室的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)考慮三維非均質(zhì)油藏，油水互不相容，可壓縮流體和巖石，考慮毛管力和重力時(shí)，數(shù)學(xué)模型的一般式為： （ ） （3????LLLLr StqDgPK???????????????? w,o?1）簡(jiǎn)化到一維，并忽略重力項(xiàng)： （ ） (3??LLLr Stqxux?????????????? ,o?中國(guó)石油大學(xué)（華東）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）16 2）假設(shè)： ①不考慮掩飾的壓縮性（即 =常數(shù)） ，不考慮流體的體積變化（即 ） ； ? 1Bo?w， ② 油水粘度為常數(shù)。 于是得： 水相： （3tSqxuKxoovor ?????????????3） 油相： （3tSqxuKxoovor ?????????????4） 式中， 為地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下單位時(shí)間內(nèi)單元體中注入（或采出）的體積流sclLlvq??量。上述兩個(gè)偏微分方程中的未知量有 4 個(gè)，即 、 、 、 ，因此還需要寫出兩個(gè)w?owSo輔助方程，即： （31ow??S5） （3ocP6）初始條件為： （3????lxSS?????00xwcw，7） 邊界條件為： （38） ??0tqq| vovwvlxv0 ???????中國(guó)石油大學(xué)（華東）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）17 上述邊界條件中，注入量產(chǎn)出量均為 ，表明該水驅(qū)油試驗(yàn)為穩(wěn)定驅(qū)替。上述（ 31）vq—（38）構(gòu)成了該問題的完整的數(shù)學(xué)模型。 利用數(shù)值方法進(jìn)行求解后，可得到在不同的注入速率下，模型中任意一點(diǎn)的壓力、飽和度隨時(shí)間的分布和變化。 數(shù)學(xué)模型的求解的方法及參數(shù)處理 對(duì)以上數(shù)學(xué)模型進(jìn)行差分求解之前，這里首先對(duì)未知量的求解方法及有關(guān)參數(shù)的處理進(jìn)行說明。數(shù)學(xué)模型的求解方法上述數(shù)學(xué)模型中有壓力 、 和飽和度 、 兩組未知量，本文應(yīng)用隱式壓力oPwwSo顯式飽和度（IMPES）求解法進(jìn)行求解。IMPES 方法的基本思路： （1）通過乘以適當(dāng)?shù)南禂?shù)，合并油方程和水方程，以消去微分方程組中的 、wS，得到一個(gè)只含有 、 的方程。oSoSwP （2）由毛管力方程 ，可得 ，帶入上面合并后的方程，得oc?cowP?到一個(gè)只含有 的方程，成為壓力方程。o （3）方程左端達(dá)西項(xiàng)系數(shù)上一時(shí)間段的值，同時(shí)毛管力也用上一時(shí)間階段的值，即顯示處理系數(shù)。于是可形成一個(gè)高階現(xiàn)行代數(shù)方程組，用迭代法可以進(jìn)行求解，先求出 ，然后得 。1no?Pnc1onwP??（4）將 帶入水相方程，用顯式方法求出 ，然后得 。1? 1nw?S1nw1no???SIMPES 方法具有所占內(nèi)存小、計(jì)算工作量小、方法簡(jiǎn)便等優(yōu)點(diǎn)。但該方法存在兩個(gè)問題：第一、達(dá)西項(xiàng)的系數(shù)處理是顯式的，因此對(duì)如錐進(jìn)的問題，由于井底周圍流速較高，壓差變化大，而存在較大的誤差，對(duì)于強(qiáng)非線性問題的適應(yīng)性也差；第二、飽和度的計(jì)算是隱式的，當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng) 較大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)解的不穩(wěn)定性。因此， IMPES 方法只適t?用于一般的弱非線性滲流的問題，對(duì)于某些非線性滲流的問題如注氣、氣錐或水錐等問題，IMPES 方法無能為力，即使時(shí)間步長(zhǎng)取得很小，仍會(huì)出現(xiàn)解的震蕩或算出的壓力和飽和度為負(fù)值的情況，以致模擬計(jì)算無法正常進(jìn)行。參數(shù)處理 在用有限差分對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解時(shí)，首先要將連續(xù)的油藏問題離散化為網(wǎng)格單元，然后對(duì)每一個(gè)網(wǎng)格單元，讀入包括深度、有效厚度、孔隙度、滲透率、飽和度等中國(guó)石油大學(xué)（華東）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）18 基本參數(shù)。所有給定的這些參數(shù)都是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處的值，在兩個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)中間處的參數(shù)值是未知的，因此需要進(jìn)行相應(yīng)的處理。（1）滲透率 的取值K 滲透率 K 是空間函數(shù)，其取值由以下幾種方法：算數(shù)平均： （3212/1????iii K9） 加權(quán)平均： （31iiiiii2/1i xKK?????10）調(diào)和平均： （31ii2/1 /x/?????iiiii KK11） 幾何平均： （31ii2/1iK???12） （2）相對(duì)滲透率的取值 相對(duì)滲透率的取之原則上是去流動(dòng)方向上的上游節(jié)點(diǎn)值，通常稱為上游權(quán)法。如下圖所示，取值方法是：當(dāng) 時(shí)，即由 流向 時(shí)