【文章內(nèi)容簡介】 尺度函數(shù) 、小波函數(shù) 的最基本特征，()t?()t?它描述兩個相鄰尺度空間 Vj1 和 Vj，或相鄰的尺度空間 Vj1 和小波空間 Wj的基函數(shù) ， 和 ， 之間的內(nèi)在聯(lián)系。由多分辨分析1,()jkt??,()jkt1,()jkt??,()jkt?的概念可知， 和 分別為尺度空間 V0 和小波空間 W0 的標準正交基。又?由于 ，因此 ， 也必然屬于 V1。也就是說， 、0101,VW???()tt ()t?可用 V1 空間的正交基 線性展開：()t?1,n?? （21,()2())()nnnhthtntgg????????1）上式描述的是相鄰二尺度空間基函數(shù)之間的關(guān)系，稱此式為二尺度方程。表示濾波器組系數(shù)，描述了二尺度空間函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，且唯一(),hng的對應(yīng)于 ， 。()t?t?分解算法將二尺度方程 對時間進行伸縮和平1,()()2()nnnththt???????移，有 （21(2)()2()2j jnjtktkhn??? ???2）令 m=2k+n，則 （21()(2)()j jntkhmktm??? ????3）根據(jù)多分辯分析，定義 （2(1)/211{)}jjjkVspantk???????4）那么任意 在 空間的展開式為1()jft??j? （2()/21,() )jkftctk?????5）將 分解一次（即分別投影到 、 空間） ，則有()ft jVjW （2/2 /2, ,()()jj jjjk jkctdtk??????6）此時， 和 為尺度 j 上的展開系數(shù)，且,jkc,jkd （2/2, ,()()*()jjjkjfttfttkd?????????7） （2/2, ,()()()jjjkjkdfttftt???????8）稱 為尺度函數(shù)或剩余系數(shù)， 為小波系數(shù)。,jkc,jkd將式 33 代入式 37，得 （2(1)/21,(2)*()jjjkmchkfttmdt??????????9）由于 ，則上式變?yōu)?1)/211,1,*()()jj jmjmfttdfttc??????? ??? ?? （2, 1,jkjmmcgkc??10）同樣方法可得 （2, 1,(2)jkjmmdgkc???11）式 310 和式 311 說明：j 尺度空間的尺度系數(shù) 和小波系數(shù) 可由 j1,jkc,jkd尺度空間的尺度系數(shù) 和小波系數(shù) ：1,jkc?1,jkd? （2, ,1, ,(2)j jmmjkjhcg????12）同樣可將尺度空間 繼續(xù)分解，一直到空間 VJ。式 312 給出了一種小波的快1jV?速算法，該算法是法國學者 Mallat 首先提出來的，稱 Mallat 算法。分別用 和 表示尺度函數(shù) j 上的小波系數(shù)和尺度系數(shù)向量，將式 212 表jcjd示為如下形式： （21jjjjcHdG??13）其中 和 為小波變換矩陣，下標 j 表示隨著分解的進行，矩陣的維數(shù)將會jHjG發(fā)生變化。二維 Mallat 算法與一維信號類似，由二維多分辨率分析可知，Mallat 算法也可相應(yīng)的推廣到二維圖像。以下是二維小波的快速分解公式： （211(,)(2)()(,(,)()()(,2Vj jklHj jlDj jklj jldmnhmglnckllcklhn???????14）重構(gòu)算法公式為 （211(,)(2)()(,)()()(,2)j jlk Hjl Vjlk Djlcmnhmlncklgdlkln???????15）一層二維小波分解和重構(gòu)的框圖如圖 22 和 23 所示：2GH 2G’ 22H’G’ 22H’1Djd?Hj1Vj?jcjc22 G HG’2H’2G’2H’2jc1Djd?Hj1Vj?jc圖 22 二維圖像的一次小波分解圖 23 二維圖像的一次小波重構(gòu)其中 、 和 分別表示圖像在垂直方向上、水平方向和對角線方向1Vjd?Hj1Djd?的細節(jié)系數(shù)。 離散小波變換使用縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙尺度小波變換，它是離散小波變換的一種形式。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。同傅立葉變換類似，在實際應(yīng)用中，連續(xù)的小波必須進行離散化處理。這里所說的離散化并非針對時間變量 x，而是針對尺度參數(shù) a 和連續(xù)平移參數(shù) b 而言的。由下式可通過對尺度因子 a 和平移因子 b 的取樣離散化： （200,mmabn?16）其中， 。離散化需要滿足 Nyquist 抽樣定理，即抽201,RnZ??樣頻率大于等于該尺度下頻率通帶的二倍。 假定存在可分離的二維尺度函數(shù) 是一個一維的尺度(,)(),(xyx???函數(shù)， 為相應(yīng)的小波函數(shù)。則可以得到三個二維基本小波變換函數(shù)： ()y? （2123,()(),xyy???17）由此建立了二維小波變換的基礎(chǔ)。注意，這里使用的上標只是索引而不是指數(shù)。在實際處理中遇到的信號多數(shù)是經(jīng)采樣系統(tǒng)得到的離散信號。從數(shù)字濾波器的角度來看，式 210 和 211 所描述的由 V0 到 VW1 的系數(shù)分解過程如圖24 所示。其中 H 和 G 分別為 h(n)和 g(n)對應(yīng)的濾波器。HG22c0 c1d1圖 24 離散小波變換的一次分解若對 c1 繼續(xù)做類似分解，可得 c2 和 d2。由式 212 可知，分解結(jié)構(gòu)及濾波器 H 和 G 保持不變，并且可以一直進行下去。每一次分解都把該次輸入的離散信號分解成一個低頻的輪廓信號和一個高頻的細節(jié)部分，見下圖 25。而且每次輸出采樣率都可以減半，保證總的輸出系數(shù)長度不變。也就是說，離散序列進行小波分解后，所有尺度下的小波系數(shù)與最大尺度系數(shù)的總長度等于原始序列的長度。圖 25 離散小波的正交小波變換H 2G 2cjcj+1dj+1 G 2H 2cj+2dj+2對離散小波進行重構(gòu)的過程如圖 26 所示。對于正交小波，圖中 和 分H?G別與圖中的 H 和 G 相同。2 H?2 Gcj+1dj+1cj圖 26 離散小波的一次重構(gòu) 常用小波簡介 Daubechies(dbN)小波在 Daubechies 小波系里最簡單的是 Haar 小波，也是唯一一個不連續(xù)的小波，其他的均為連續(xù)且是緊支撐的小波。更有甚者，在該小波系中，隨著級數(shù)的增加小波變得越來越光滑，而且它們可以有預(yù)知的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，其光滑性足以滿足特定要求。Daubechies 小波是由世界著名的小波分析學者 Inrid Daubechies 構(gòu)造的小波函數(shù)，我們一般寫成 dbN，N 是小波的階數(shù)。dbN 沒有明確的表達式除(N=1)外，但轉(zhuǎn)換函數(shù) h 的平方模是很明確的。Daubechies(dbN)小波的特點： (1) 支撐大小不同 p 下尺度函數(shù)的支撐為su[0,21]???其相應(yīng)的小波母函數(shù)的支撐為sup[(2),1]p???(2) 對稱性問題dbN 小波沒有對稱性，除 Haar 小波外，其它所有連續(xù)的緊支撐小波及其尺度函數(shù)都不具備任何對稱性。 (3) 正則性問題隨著 N 的增大， 和 的支集增大，其衰減性將降低，但其光滑性將()t?t?增高，即正則性變得越來越好。 (4)消失矩特性小波的消失矩定義如下： ()0,??????則稱小波 具有 M 階消失矩。Daubechies 小波根據(jù)其具有的消失矩來分類。尺度函數(shù)和小波函數(shù)的光滑性隨消失矩而增加。N=1 時即 Haar 小波，其尺度函數(shù)和小波函數(shù)不連續(xù)。N=2時的 Daubechies 的尺度函數(shù)和小波函數(shù)是連續(xù)的，但是沒有光滑的導(dǎo)數(shù)。N=3時，小波函數(shù)和尺度函數(shù)均連續(xù)可微。在 Matlab 中，具有 p 階消失矩的小波濾波器用 dbp 表示，如 D4 濾波器用db2 表示。D4 小波函數(shù)是連續(xù)的，但不可微，它的 支撐區(qū)間為[0，3]，()t?得支撐區(qū)間為[1 ，2]。下圖給出 Daubechies 小波的 D4 尺度函數(shù)與小波：()t? Haar 小波分析最簡單的小波分析基于 Haar 尺度函數(shù)，如圖 28 所示，其構(gòu)造塊就是這個基本圖形的平移和伸縮（在高度和寬度方向上） 。用 Haar 尺度函數(shù)產(chǎn)生構(gòu)造塊圖 27 D4 尺度函數(shù)與小波特別簡單，并且可以示例多分辨分析的基本思想，但它的不足是不連續(xù)，因此不能很好的近似連續(xù)函數(shù)。Haar 尺度函數(shù)定義為： （21,0()xx???????若其 它18）10 00 1 x（x?）y圖 28 Haar 尺度變換與 的圖形基本一樣，只不過向右平移了 k 個單位(假設(shè) k＞0） 。()xk??(令 V0 使所有形如 （2(),kkZRa??19）的函數(shù)組成的空間，k 可在任一有限的整數(shù)范圍內(nèi)取值。因為 在 x=k 和()xk??x=k+1 處不連續(xù)，換句話說，V0 是所有不連續(xù)點僅在整數(shù)集中的分段常量函數(shù)所組成的空間。因為 k 的取值范圍有限，所以在某個有界集外 V0 的元素為 0，這樣的一個函數(shù)稱為具有有限支撐或緊支撐的。 常用的基本小波還有雙正交小波、Morlet 小波、高斯小波、Marr 小波（也叫墨西哥草帽小波） 、Meyer 小波、Shannon 小波以及 BattleLemarie 樣條小波。 本章小結(jié)本章主要闡述了小波變換的基本理論。首先介紹了多辨分析的概念然后介紹了 Mallat 算法以及離散小波變換，最后介紹了幾個其他常用的小波變換。本章的內(nèi)容為后面的仿真分析做了準備。第三章 正交頻分復(fù)用技術(shù) OFDM 概述實際上 OFDM 是 MCM MultiCarrierModulation，多載波調(diào)制的一種。其主要思想是：將信道分成若干正交子信道，將高速數(shù)據(jù)信號轉(zhuǎn)換成并行的低速子數(shù)據(jù)流，調(diào)制到在每個子信道上進行傳輸。正交信號可以通過在接收端采用相關(guān)技術(shù)來分開，這樣可以減少子信道間相互干擾 ISI。每個子信道上的信號帶寬小于信道的相關(guān)帶寬，因此每個子信道上的可以看成平坦性衰落，從而可以消除符號間干擾。而且由于每個子信道的帶寬僅僅是原信道帶寬的一小部分，信道均衡變得相對容易。OFDM 是一種適用于無線環(huán)境下的高速傳輸技術(shù)，主要思想就是在頻域內(nèi)將給定信道分成許多正交子信道，在每個子信道上使用一個子載波進行調(diào)制，并且各子載波并行傳輸。這樣，盡管總的信道是非平坦的，具有頻率選擇性，但是每個子信道是相對平坦的，在每個子信道上進行的是窄帶傳輸，信號帶寬小于信道的相干帶寬，因此就可以大大消除信號波形間的干擾。由于在 OFDM 系統(tǒng)中各個子信道的載波相互正交，它們的頻譜是相互重疊的，這樣不但減小了子載波間的相互干擾，同時又提高了頻譜利用率。 OFDM 發(fā)展背景及應(yīng)用早期的正交頻分復(fù)用系統(tǒng)都使用正弦波發(fā)生器組和相干解調(diào)器實現(xiàn)調(diào)制和解調(diào)，當子信道數(shù)目很大時，系統(tǒng)復(fù)雜性太高，造價昂貴難以接受。1971 年，Weinstein 和 Erbert 將離散傅立葉變換(DFT)應(yīng)用到正交頻分復(fù)用系統(tǒng)的調(diào)制和解調(diào)中，避免使用頻分復(fù)用系統(tǒng)中的子載波發(fā)生器和相干解調(diào)器組，使得全數(shù)字化的 OFDM 實現(xiàn)成為可能，并且隨著大規(guī)模集成電路(VLSI) 技術(shù)的發(fā)展，大量載波數(shù)的正交頻分復(fù)用系統(tǒng) FFT 芯片實現(xiàn)已經(jīng)可以商用。 OFDM 的數(shù)字化的 DFT 實現(xiàn)和 VLSI 技術(shù)的發(fā)展大大推進了 OFDM 系統(tǒng)在有線傳輸和無線傳輸中的應(yīng)用。二十世紀 90 年代，OFDM 廣泛用于高速數(shù)據(jù)接入系統(tǒng)中，如高速數(shù)據(jù)用戶線路(HDSL),非對稱數(shù)字用戶線路。(ADSL)和甚高速數(shù)字用戶線路(VHDSL)以及數(shù)字音頻廣播(DAB)、數(shù)字視頻廣播 (DVB)和數(shù)字電視、HDTV 陸地廣播系統(tǒng)中。1999 年 12 月，包括 Ericsson、Nokia 和 WiLAN 在內(nèi)的 7 家公司發(fā)起國際 OFDM 論壇，致力于策劃一個基于 OFDM 技術(shù)的全球性統(tǒng)一標準。如今，隨著 標準的成熟，OFDM 在城域網(wǎng)領(lǐng)域的應(yīng)用將得到進一步拓寬。Intel 公