【文章內(nèi)容簡介】 （Mtrix Laboratory）的簡稱，是美國MathWorks的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境，包括MATLABH和SIMULINK兩大部分。Simulink是一個用來對動態(tài)系統(tǒng)進行建模、仿真和分析的軟件包它支持連續(xù)、離散及兩者混合的線性和非線性系統(tǒng)也支持具有多種采樣速率的多速率系統(tǒng)[14]。一、開環(huán)系統(tǒng)搭建打開MATLAB軟件，輸入SIMULINK。 開環(huán)階躍仿真框圖 其中。 傳遞函數(shù)賦值。 開環(huán)階躍響應(yīng)仿真圖，此系統(tǒng)是一開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，當有一微小擾動時，小球?qū)⑵x平衡位置。因此，我們需要使用某種方法來控制小球的位置。接下來，將使用PID控制器開穩(wěn)定系統(tǒng)。二、閉環(huán)系統(tǒng)搭建 進入simulink工作環(huán)境并新建一文件，利用傳遞函數(shù)模塊建立系統(tǒng)的被控對象的傳遞函數(shù)。 閉環(huán)階躍仿真框圖、PID控制器、功率放大器和控制對象。具體模塊參數(shù)設(shè)置如下：。即，傳遞函數(shù)為： () PID控制器直接選用MATLAB中的給定控制器。 PID控制模塊控制對象模塊與開環(huán)時候相同。那么。 功率放大器的傳遞函數(shù)為： ()。 。 閉環(huán)階躍響應(yīng)仿真圖 這時所用的參數(shù)為Kp=,Ki=,Kd=。第四節(jié) 本章小結(jié) 本章首先對磁懸浮球系統(tǒng)進行分析，介紹了磁懸浮系統(tǒng)的組成，對其工作原理進行介紹。然后，據(jù)此通過電流形式和電壓形式分別進行數(shù)學(xué)建模，并對數(shù)學(xué)模型進行了線性化處理，得到了線性化后的傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程，并在MATLAB環(huán)境下進行建模。最后，對所得控制對象的模型進行開環(huán)控制仿真和閉環(huán)控制仿真。第三章 控制器的設(shè)計和調(diào)試第一節(jié) PID控制器的設(shè)計和調(diào)試一、PID控制基礎(chǔ)模擬PID控制PID（Proportional、Integral and Differential）控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值r（t）與實際輸出值c（t）構(gòu)成控制偏差，將偏差的比例（P）、積分（I）和微分（D）通過線性組合構(gòu)成空置量，對被控對象進行控制。其控制規(guī)律為： ()或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)形式 ()式中，Kp為比例系數(shù)，Ti為積分時間常數(shù)，Td為微分時間常數(shù)[15]。 。 PID控制系統(tǒng)原理框圖在PID控制中，比例項用于糾正偏差，積分項用于消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，微分項用于減少系統(tǒng)的超調(diào)量，增加系統(tǒng)穩(wěn)定性。PID控制器的性能取決于Kp、Ti和Td這三個系數(shù)，如何選用這三個系數(shù)是PID控制的核心。PID控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下：①比例環(huán)節(jié) 即是成比例地反映控制系統(tǒng)地偏差信號e（t），偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。②積分環(huán)節(jié) 主要用于消除靜差，提高系統(tǒng)的無差度。積分作用的強弱取決于時間常數(shù)Ti，Ti越大，積分作用越弱，反之越強。③微分作用 能反映偏差信號的變化趨勢（變化速率），并能在偏差值變得太大之前，在系統(tǒng)中能引入一個有效地早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調(diào)節(jié)時間[16]。數(shù)字PID控制由于數(shù)字處理器只能計算數(shù)字量，無法進行連續(xù)PID運算，所以若使用數(shù)字處理器來實現(xiàn)PID算法，則必須對PID算法進行離散化。數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的設(shè)計可以通過首先用經(jīng)典控制理論設(shè)計出性能比較滿意的模擬調(diào)節(jié)器，然后通過離散化方法得到[17]。PID算法的離散化有位置式和增量式兩種常用實現(xiàn)方式[18]。按模擬PID控制算法，一系列的采樣時刻點kT代替連續(xù)時間t，以矩形法數(shù)值積分近似代替積分，以一階向后差分近似代替微分，即可得位置式離散PID表達式為： ()式中。T為采樣周期，k為采樣序號，k＝1，2，……，e（k－1）和e（k）分別為第（k－1）和k時刻所得的偏差信號。當執(zhí)行機構(gòu)需要的是控制量的增量時，采用增量式PID控制算法。增量式PID控制算法表達式為： ()PID控制是在經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)上，通過長期的工程實踐總結(jié)形成的一種控制方法。由于目前混合磁懸浮系統(tǒng)的動態(tài)特性還不能完全被人們掌握，很難得到系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型，難以滿足應(yīng)用控制理論進行分析和綜合的各種要求。而PID控制方案由于它的靈活性和適應(yīng)性很強，在工程上更加易于實現(xiàn)。而且，它在自動調(diào)節(jié)控制的基礎(chǔ)上還保留人工參與管理和參數(shù)便于調(diào)整的特點，所以PID控制仍然是首選的控制策略之一。 在本設(shè)計中，由于是利用MATLAB來是實現(xiàn)PID控制，故直接調(diào)用MATLAB中自帶的PID模塊，僅需要確定PID控制器的參數(shù)就可以設(shè)計數(shù)字PID控制器。二、PID控制參數(shù)整定 PID控制算法參數(shù)的整定就是選擇Kp、Kd、Ki幾個參數(shù)，使相應(yīng)計算機控制系統(tǒng)輸出的動態(tài)響應(yīng)滿足幾個性能指示。PID參數(shù)整定一般有兩種方法，理論設(shè)計法和實驗確定法。用理論設(shè)計法確定PID控制參數(shù)的前提是要有被控對象準確的數(shù)學(xué)模型，并且理論設(shè)計法都要求系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)，這些是一般工業(yè)很難做到的。磁懸浮系統(tǒng)是強非線性系統(tǒng)，在實際過程中存在很多非線性因素干擾并且在平衡點線性化得到的系統(tǒng)模型是忽慮了很多非線性因素后得的方法[19]。工程試驗法簡介 工程試驗法是通過仿真和實際運行，觀察系統(tǒng)對典型輸入作用的響應(yīng)曲線，根據(jù)各控制參數(shù)對系統(tǒng)的影響，反復(fù)調(diào)節(jié)實驗，直到滿意為止，從而確定PID參數(shù)。根據(jù)理論可知： 從系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應(yīng)速度、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)精度等各方面來考慮，各參數(shù)的作用如下： ?比例系數(shù)Kp的作用是加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。Kp越大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度越高，但是容易產(chǎn)生超調(diào)，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定；Kp的值過小，將使系統(tǒng)的靜態(tài)誤差難以消除，影響系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。 ?積分作用系數(shù)Ki的作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。Ki 越大，及積分時間越短，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差消除的越快，但是Ki過大，在響應(yīng)過程的初期會產(chǎn)生積分飽和現(xiàn)象，從而引起響應(yīng)過程的較大超調(diào)；若Ki過小，將使系統(tǒng)的靜態(tài)誤差難以消除，影響系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。?微分作用系數(shù)Kd的作用是改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，其作用主要是在系統(tǒng)過程中抑制偏差向任何方向的變化，對偏差變化進行響應(yīng)。Kd過大，會使響應(yīng)過程提前制動，從而影響調(diào)節(jié)時間，同時Kd對于噪聲還有放大作用，會降低系統(tǒng)的抗干擾性能。工程實驗法步驟 在工程實驗時，參考各參數(shù)對控制過程的響應(yīng)趨勢，實行先比例，后積分，在微分的反復(fù)調(diào)整。其具體整定步驟如下： ?整定比例系數(shù) 先將PID 控制器其中的Kd 為0，Ki為無窮，使之成為比例控制器，再將比例系數(shù)由小變大觀察相應(yīng)的響應(yīng)，使系統(tǒng)的過渡過程達到4：1衰減的響應(yīng)曲線，最優(yōu)比例系數(shù)由此確定。 ?加入積分環(huán)節(jié) 如果只用比例控制，系統(tǒng)的靜差不能滿足要求，則只需加入積分環(huán)節(jié)整定時，先將比例系數(shù)減小10％—20％，以補償加入積分環(huán)節(jié)作用而引起的系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，然后由大到小調(diào)節(jié)Ki ，在保持系統(tǒng)良好動態(tài)性能的情況下消除靜差。這一步可以反復(fù)進行，直到達到滿意的控制效果。 ?加入微分環(huán)節(jié) 經(jīng)上兩步調(diào)整后，若系統(tǒng)動態(tài)性能不能讓人滿意，可以加入積分環(huán)節(jié)，構(gòu)成PID控制器。整定時，先置Kd為0，然后，在第二步的基礎(chǔ)上在加大Kd，同時相應(yīng)的改變比例系數(shù)和積分系數(shù)，最終達到滿意的控制效果。三、磁懸浮系統(tǒng)中的PID控制對于磁懸浮試驗系統(tǒng)輸出量為小球的位置x，其平衡位置為x0（在被控范圍內(nèi)可任意設(shè)定）。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)G（s）為 ()式中： ——傳感器的傳遞函數(shù) ——PID控制器傳遞函數(shù) ——受控對象的傳遞函數(shù) ——功率放大器的傳遞函數(shù) 被控對象傳遞函數(shù)是： () PID控制器的傳遞函數(shù)是： () 傳感器和功率放大器的傳遞函數(shù)分別是： () ()。運用工程試驗法對PID控制器的三個參數(shù)進行調(diào)節(jié)。如上章內(nèi)容所講，圖中階躍響應(yīng)圖表現(xiàn)出穩(wěn)定性、超調(diào)量和響應(yīng)速度都不很理想，需進行調(diào)節(jié)。 ?調(diào)節(jié)比例系數(shù)Kd，使增快系統(tǒng)響應(yīng)速度，減小系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間Kp=（Ki=,Kd=） Kp=（Ki=,Kd=） Kp改變的階躍響應(yīng)圖?調(diào)節(jié)參數(shù)Ki，使更快的消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差Ki=（Kp=,Kd=） Ki=（Kp=,Kd=） Ki改變的階躍響應(yīng)圖?調(diào)節(jié)參數(shù)Kd，以保證系統(tǒng)的動態(tài)性能Kd=（Kp=,Ki= Kd=（Kp=,Ki=） Kd改變的階躍響應(yīng)圖、圖4和圖5可知，Kp越大，系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，可減少系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間；Ki越大，系統(tǒng)靜差消除越快；Kd能有效地減少超調(diào)。結(jié)合以上規(guī)律多次試驗，進一步調(diào)節(jié)PID參數(shù)，當Kp、此時系統(tǒng)的上升時間，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間等動態(tài)性能綜合相對較好。 閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線第二節(jié) 根軌跡控制器的設(shè)計和調(diào)試一、根軌跡法的基本概念和原理一個控制系統(tǒng)的全部性質(zhì)，取決與系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，因此，可以根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極、零點間接地研究控制系統(tǒng)的性能。但對于高價系統(tǒng)，采用解析法求取系統(tǒng)的閉環(huán)極點通常是比較困難的。1948年，并且在控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計中得到廣泛的應(yīng)用[20]。這一方法不直接求解特征方程，用作圖的方法表示特征方程的根與系統(tǒng)某一參數(shù)的全部數(shù)值關(guān)系，當這一參數(shù)取特定值時，對應(yīng)的特征根可在上述關(guān)系圖中找到。這種方法叫根軌跡法。根軌跡法具有直觀的特點，利用系統(tǒng)的根軌跡可以分析結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應(yīng)特性，還可分析參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。在設(shè)計線性控制系統(tǒng)時，可以根據(jù)對系統(tǒng)性能指標的要求確定可調(diào)整參數(shù)以及系統(tǒng)開環(huán)零極點的位置，即根軌跡法可以用于系統(tǒng)的分析和綜合。任何一個系統(tǒng)，可用傳遞函數(shù)模型描述。傳遞函數(shù)模型表示為： () 將傳遞函數(shù)的分子和分母多項式分解，其特征根分別是系統(tǒng)的零點和極點，系統(tǒng)的增益是。 設(shè) () ()則得到零點模型： ()根軌跡分析方法是分析開環(huán)系統(tǒng)的零極點位置與某一參數(shù)變化時，該參數(shù)變化的軌跡與組成的閉環(huán)系統(tǒng)零極點之間的關(guān)系，并分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其他性能指標的方法。根軌跡法較正是基于根軌跡分析法，通過增加新的（或者消去原有的）開環(huán)零點或者開環(huán)極點來改正原根軌跡走向，得到新的閉環(huán)極點從而使系統(tǒng)可以實現(xiàn)給定的性能指標來達到系統(tǒng)設(shè)計要求的。①增加開環(huán)極點對系統(tǒng)的影響首先，增加了新的開環(huán)極點，根據(jù)根軌跡實軸分布法則，可以改變原有根軌跡的實軸分布情況；其次，可以使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在s平面上向右移。其結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性變壞，這與系統(tǒng)的階數(shù)增加，系統(tǒng)穩(wěn)定性變差的結(jié)果是一致的。②增加開環(huán)零點對系統(tǒng)的影響增加了新的開環(huán)零點，根據(jù)根軌跡實軸分布法則，也改變了原有根軌跡的實軸分布情況；另外可以使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在s平面上向左移。其結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性得到改善，系統(tǒng)的動態(tài)性能變好，系統(tǒng)的平穩(wěn)性得到滿足。③增加偶極子對系統(tǒng)的影響實軸上有一對距離很近的開環(huán)零點和極點，則把他們稱為偶極子。增加偶極子可以做到：（1）基本不改變原有根軌跡；（2）改變開環(huán)增益Ko，改善穩(wěn)態(tài)性能。二、磁懸浮系統(tǒng)的根軌跡校正 由上節(jié)內(nèi)容已經(jīng)得到，開環(huán)傳遞函數(shù)，即控制對象的傳遞函數(shù)為: ()將其轉(zhuǎn)換為零極點形式為： () 用MATLAB可以繪制其根軌跡圖。其中，三個開環(huán)極點分別為：P1=，P2=，P3=。 開環(huán)根軌跡圖，磁懸浮控制系統(tǒng)有一個極點位于右半平面，同時，也有一根軌跡始終在右面，因此，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，要實現(xiàn)對磁懸浮控制系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，設(shè)計的控制器必須對根軌跡進行校正。由理論知識可知，增加開環(huán)極點，可以改變原有根軌跡的實軸分布法則，可以改變原有根軌跡的實軸分布情況；其次，可以使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在s平面上向右移。增加開環(huán)零點，可以也改變原有根軌跡的實軸分布法則，可以使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在s平面上向左移，增加系統(tǒng)的平穩(wěn)性。結(jié)合上面所畫圖形，需要使得每條根軌跡都要存在于s左半平面，因此，首先添加一新零點將根軌跡往左移動：那么，可以增加一補償裝置。 補償裝置電路圖該裝置的傳遞函數(shù)為： ()式中，那么，只要將此零點的大小設(shè)為（,0）區(qū)間的任一數(shù)值，只要去適當?shù)脑鲆鎰t有可能達到要求。假設(shè)取零點為20，則新的開環(huán)函數(shù)變?yōu)椋? ()。此時，我們發(fā)現(xiàn)只要取適當?shù)腒gc，有可能得到較好的效果，通過多次用試驗驗證后，發(fā)現(xiàn)將零點取為=10時響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)性能較好些。那么，校正裝置的傳遞函數(shù)為： ()其中，為待定補償增益值。 這樣，帶有微分校正裝置的新的開環(huán)傳遞函數(shù)成為 ()。 較正后根軌跡圖 經(jīng)過多次試驗，當取時，系統(tǒng)性能相對更好一些。 補償后階躍響應(yīng)圖 ，經(jīng)校正后系統(tǒng)能夠穩(wěn)定，反應(yīng)速度也較快，但存在較大的振蕩，可以再設(shè)計一阻尼系數(shù)比較大的校正裝置使系統(tǒng)性能更好。第三節(jié) 頻率響應(yīng)控制器的設(shè)計和調(diào)試一、頻率響應(yīng)法的基本概念和分析當輸入信號是階躍信