高數(shù)答案第9章(編輯修改稿)
2025-07-23 20:46 本頁面
【文章內容簡介】 與該點的曲線的法線在軸上的截距乘積的兩倍，求曲線方程．解： , 令，解得 由， 得 ，曲線方程為： ． ***9．根據(jù)托里斥利定律，液體從容器小孔中流出的速度為 ，其中 為重力加速度，為液面與底部孔口之間的距離，為孔口面積，為孔口收縮系數(shù)，實驗確定其取值為 ．現(xiàn)有一直徑為m，高為2m的直立圓柱形容器，其中盛滿的水從底部直徑為cm的圓孔流出，要多長時間容器內的水才會完全流盡？解：設在時刻t時， 容器中液面高度，則經過后液面高度為， 于是有，即 ，令， 得 解得 ，代入， ， ， ， ， 得（秒）．第9章 （之4）（總第47次）教學內容：167。**1．解下列問題：（1）．微分方程滿足條件的解是 （ ）（A） （B）（C） （D）解：（C） （2）．微分方程滿足條件的解是 （ ）（A） （B）（C） （D）解：（C） **2．求下列微分方程的通解． （1）；解： 是一不顯含因變量的二階方程， 令 ， =， ， ， ， ，．（2）；解：， ， ．（3）；解：∵， 令 ， 則 ，代入方程有， ，因為求通解，所以 滿足 ． 由 ， ， ．∴ 通解：．（4）解：令：，得 ，即 ， 得 ， 所以 ，通解為：．第9章 （之5）（總第48次）教學內容：167。9 .4 .1二階線性方程和解的存在性；167。9 .4 .2二階線性方程解的結構**1．若是方程的兩個解，試證 必是其對應齊次方程的解． 證明：因為是方程的解． 所以成立下式： 將 (1)、(2) 兩式相減，得(2) 式可寫為，所以 是齊次方程 的解．***2．已知是方程的三個特解，問能否求出該方程得通解？若能則求出通解來．解：按（1）證明可知 分別是其對應齊次方程的解，并且線性無關，所以 為齊次方程的通解． 所以原方程的通解可以表示為：．*3．驗證：是微分方程的兩個線性無關特解，并求此方程的通解．證明：因為，故是方程的解，且 常數(shù)． 于是是方程線性無關的解（構成基本解組），故方程的通解為 ，其中為任意常數(shù)． *4．已知函數(shù) 是方程 的兩解，試求該方程滿足初始條件 的特解．解：方程的通解為 ，將初始條件代入，有： 解得為： ， 所以特解為： ．**5．設是非齊次線性方程 的解．是方程 的解．試證明 是方程 的解．解：因為分別為方程（1）和方程（2）的解，所以 得：即 是方程（3）的解． 第9章 （之6）（總第49次）教學內容：167。9 .4 .3二階線性常系數(shù)方程的解法**1．解下列問題：（1）方程的通解為_______________．解：．（2）方程的通解為_______________．解：．（3）方程的通解為_______________．解：．（4）方程的通解為_______________．解：．（3）方程的通解為，則___，_____．解：11，．**2．求解下列初值問題：（1）；解：∵， ∴， 通解為：． 將初始條件代入，有 ， 得到：， 所以特解為：．（2）；解：， ，通解為：．代入初始條件有： ， ，得：． 特解為
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