第27屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽試題及答案(編輯修改稿)
2025-07-23 09:02 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 沿垂直于輕桿方向球1與桿的相互作用力的大小，以表示沿著輕桿方向球1與桿的相互作用力的大小，根據(jù)牛頓第二定律，有， （10） （11）由（3）、（9）、（10）、（11）各式得。 （12）。 （13）對(duì)2球作同樣的分析，沿垂直于輕桿方向球2與桿的相互作用力的大小與沿著輕桿方向球2與桿的相互作用力的大小分別為， （14）。 （15）由（12）、（14）式可知，桿與小球桿與小球2的最大靜摩擦力相等，而（13）、（14）式表明小球1與桿的摩擦力大于小球2與桿的摩擦力，故在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，小球1與桿之間的摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力，故小球1先滑動(dòng)。設(shè)1球開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)，細(xì)桿與水平線(xiàn)夾角為，則，即， （16）由（16）式并代入數(shù)據(jù)得。 （17）當(dāng)時(shí)，球1開(kāi)始向外滑動(dòng)。由于球1的初始位置緊靠輕桿末端，球1從開(kāi)始滑動(dòng)到脫離細(xì)桿的時(shí)間可忽略不計(jì)，因此球1脫離細(xì)桿與水平線(xiàn)夾角也為。球1一旦脫離輕桿，因輕桿沒(méi)有質(zhì)量，球2與輕桿間的相互作用立即消失，此后球2只受重力作用而作斜舞女運(yùn)動(dòng)，注意到（2）、（3）、（7）各式，拋出時(shí)的初速度。 （18）初速度的方向與水平線(xiàn)的夾角。 （19）在球2作拋體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，球與輕桿間雖無(wú)相互作用，但球仍套在桿上，輕桿將跟著球運(yùn)動(dòng)，但不會(huì)干擾小球的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)球離轉(zhuǎn)軸的距離再次等于時(shí)，球2便脫離輕桿。建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)斜拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得任意時(shí)刻（取球2開(kāi)始作拋體運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)）球2的位置坐標(biāo)， （20）， （21）球2脫離細(xì)桿時(shí)有。 （22）利用（17）、（18）、（19）各式得， （23）從而解得。 （24）此時(shí)。 （25）設(shè)球2脫離細(xì)桿時(shí)細(xì)桿與水平線(xiàn)夾角也為（如圖），則， （26）（或弧度）。 （27）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：（3）式2分，（7）式3分，（12）~（15）式各1分，（16）式2分，（17）式1分，（18）式2分，（19）式1分，（20）~（22）式各1分，（26）、（27）式各1分。四、（15分）解法1：以表示質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)，表示連線(xiàn)與豎直方向的夾角，表示轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，表示間排斥力的大小。根據(jù)牛頓定律有， （1）， （2）， （3）。 （4）由（1）、（3）兩式并利用（2）、（4）兩式可得。 （5）考慮到幾何關(guān)系 （6）并利用已知和的表示式?？捎桑?）得到 （7）又，由（2）、（4）式可得。 （8）帶入已知的和的表達(dá)式可得。 （9）聯(lián)立（7）、（9）從而有。 （10）如果，則意味著方程 （11）在區(qū)間有兩個(gè)不同的解，其中為某一合適的常數(shù)。這要求函數(shù)在區(qū)間不能是單調(diào)函數(shù)，也就是說(shuō)和不能同時(shí)為單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)。因此當(dāng)增大時(shí)，若增大，則應(yīng)減?。环粗?，若減小，則應(yīng)增大，故與同號(hào)。因此有 （12）。 （13）對(duì)，可知在及時(shí)均為零，因此在區(qū)間一定存在極值點(diǎn)，意味著方程（11）在合適選取的情況下必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的不同解。對(duì)亦然。因此條件（12）、（13）是符合題意要求的充分必要條件。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：（1）~（4）式各1分，（6）式1分，（10）式6分，（12）、（13）式及其以下說(shuō)明共4分。解法2：如圖，設(shè)、間的排斥力是，它們受到的吸引力分別是、向心力分別是、距離分別是；根據(jù)三角形的相似關(guān)系，有， （1a）。 （2a）以上兩式相比可得 （3a）依題意有， （4a）， （5a）， （6a）將（4a）~（6a）代入（3a）得。 （7a）由（7a）得。 （8a）之后的討論與“參考解答1”相同。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：考慮“參考解答1”。五、（15分）以表示環(huán)境中大氣的壓強(qiáng)，則初始時(shí)裝入容器的空氣的壓強(qiáng)為，溫度為，以表示其體積。當(dāng)容器與冰山接觸，達(dá)到平衡時(shí)，容器中空氣的溫度為，體積減小為，根據(jù)題意，空氣經(jīng)歷的過(guò)程為等壓過(guò)程，故有 （1）在這一過(guò)程中，容器中空氣內(nèi)能的增加量為， （2）大氣所考察空氣做功為 （3）若以表示此過(guò)程中冰山傳給容器中空氣
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