【文章內(nèi)容簡介】 若希望旁軸光線不橫向逸出腔外，應(yīng)要求這四個矩陣元值不能無限大，即要求： 1cos??也就是要求： ()2EH?對于題目所述球面鏡諧振腔： ?? 212121 1gg()2EHADBCAD????對于光學(xué)諧振腔來說，光線傳輸矩陣元須滿足： detTEFG?即： 212g()ADBC?所以： ??12EH??12g?光學(xué)諧振腔穩(wěn)定性條件為： 01?g12. 試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡腔的穩(wěn)定性條件。解題思考：關(guān)鍵概念：平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡光學(xué)諧振腔、鏡腔曲率半徑正負(fù)取值規(guī)定、穩(wěn)定性判據(jù)關(guān)鍵公式： 102?g解：(1)平凹腔平面鏡曲率半徑為無窮大： ，假設(shè)凹面鏡腔對應(yīng)正曲率半徑 ：1g?2R21Lg??由穩(wěn)定性條件： 021?可得： 2RL?可見，凹面鏡腔正曲率半徑超過腔長的平凹腔，為穩(wěn)定腔。(2) 雙凹腔假設(shè)凹面鏡腔正曲率半徑 和 ，且 ： ，1R21R?1Lg??22R由穩(wěn)定性條件： 021?g可得： 2L?或 1R?可見，雙凹鏡腔的腔長取值，或者超過兩凹面腔鏡中曲率半徑較大的曲率半徑，或者小于兩者之中曲率半徑較小的曲率半徑，即為穩(wěn)定腔。(3) 凹凸腔假設(shè)凹面鏡腔正曲率半徑 ，凸面鏡腔的負(fù)曲率半徑 ： ，1R2R11Lg??22R??由穩(wěn)定性條件： 021?g可得： 12LR??或 2??進(jìn)一步分析不等式解中對腔長取值要求可見，若凹面腔鏡曲率半徑值等于凸面腔鏡曲率半徑值的二倍： ，腔長取值： 時為穩(wěn)定腔；若凹面腔鏡曲率半徑值小于12R?2LR??凸面腔鏡曲率半徑值的二倍： ，腔長取值： 時也為穩(wěn)定腔；12?212LR??若凹面腔鏡曲率半徑值大于凸面腔鏡曲率半徑值的二倍： ，則兩鏡無法組成穩(wěn)定1?腔，即凹面腔鏡曲率半徑值須低于凸面腔鏡曲率半徑值二倍是凹凸鏡組成穩(wěn)定腔的前提。13. 激光器諧振腔由一面曲率半徑為 1m 的凸面鏡和曲率半徑為 2m 的凹面鏡組成，工作物質(zhì)長 ，其折射率為 ，求腔長 L 在什么范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔。解題思考：關(guān)鍵概念：凹凸面鏡諧振腔、鏡腔曲率半徑正負(fù)取值規(guī)定、等效腔長、穩(wěn)定性判據(jù)關(guān)鍵公式： 102?g39。lLn???解： ， ， ，?39。l，1139。LgR??2239。由穩(wěn)定性條件： 10?g120()()llLnnR???.?可得： (m)()L?或 (腔長小于工作物質(zhì)長度，不合理，舍棄)?腔長 L 取值在[, ]范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔。14. 如下圖所示三鏡環(huán)形腔，已知 l，試畫出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑 R在什么范圍內(nèi)該腔是穩(wěn)定腔。圖示環(huán)形腔為非共軸球面鏡腔，在這種情況下，對于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€，f = Rcos?/2，對于在于此垂直的平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€，f = R/(2cos?)，? 為光軸與球面鏡法線的夾角。lll15. 什么樣的光學(xué)諧振腔腔內(nèi)存在焦點？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、介穩(wěn)腔、非穩(wěn)腔，諧振腔腔內(nèi)行波、束腰、焦點關(guān)鍵公式： ????? ???????????? 2121212122 21121 )()]()[( )()( gLRLRLFgzgLL解：焦點即諧振腔腔內(nèi)行波束最細(xì)之處，即束腰之處。腔內(nèi)存在行波束，即存在穩(wěn)定模式，是光學(xué)諧振腔內(nèi)存在焦點的前提。光學(xué)諧振腔又分為非穩(wěn)腔、介穩(wěn)腔和穩(wěn)定腔，完整的解答本題需要針對非穩(wěn)腔、介穩(wěn)腔和穩(wěn)定腔三種情形分別予以討論。但是，本課程對非穩(wěn)腔和介穩(wěn)腔腔內(nèi)行波束性質(zhì)涉及的較少，所以針對非穩(wěn)腔和介穩(wěn)腔腔內(nèi)是否存在焦點，也只能根據(jù)本課程已介紹的內(nèi)容來回答。針對穩(wěn)定腔則可以通過與等價的對稱共焦腔作細(xì)致的討論。對于非穩(wěn)腔情形，雙凹鏡組成的不對稱實共焦腔腔內(nèi)存在焦點。對于介穩(wěn)腔情形，雙凹鏡組成的對稱共焦腔腔內(nèi)存在束腰，存在焦點。對于穩(wěn)定腔情形，其有等價的對稱共焦腔腔內(nèi)存在束腰，若該束腰位于穩(wěn)定腔兩腔鏡之間： 21122121()0()())0[]LRzRLFL??????????????則對應(yīng)穩(wěn)定腔腔內(nèi)存在焦點。由上述方程組解得： 12RL????或者 12RL???????分別對應(yīng)由曲率半徑超過腔長的雙凹面鏡組成的穩(wěn)定腔，以及由曲率半徑不超過腔長但兩鏡曲率半徑之和超過腔長的兩鏡組成的穩(wěn)定腔。16. 試分析 ABCD 定律在光學(xué)諧振腔分析中的作用。解題思考：關(guān)鍵概念：傳播矩陣、ABCD 定律、諧振腔穩(wěn)定性解：在光學(xué)諧振腔分析中，光學(xué)諧振腔中光線 n 次往返反射傳播所對應(yīng)的傳播矩陣為：sii(1)sin1 (1)innABABCDCD???????? ??????? ????? ???按照 ABCD 定律，光學(xué)諧振腔中光線的最終坐標(biāo)通過傳播矩陣中的矩陣元素 ABCD 與初始坐標(biāo)聯(lián)系起來。在初始坐標(biāo)為近軸光線的情況下，通過要求傳播矩陣中的矩陣元素ABCD 為有限量，得到了光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件?？梢?，ABCD 定律在在光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性分析中發(fā)揮了重要作用。17. 一般穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價共焦諧振腔，有什么相同，有什么不同？解題思考：關(guān)鍵概念：對稱共焦腔、穩(wěn)定腔、等價對稱共焦腔、腔內(nèi)行波場、等相位面答：與穩(wěn)定腔等價的對稱共焦腔，是通過以對稱共焦腔行波等相位面相同曲率半徑反射鏡的插入而獲得這種等價關(guān)系的，根據(jù)是光線可逆原理。因此，這種等價關(guān)系是建立在幾何光學(xué)的基礎(chǔ)之上的，而不是建立在波動衍射光學(xué)的基礎(chǔ)之上的。穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價對稱共焦諧振腔真正相同的是腔行波的等相位面，即便是等相位面上的光電場大小分布也不一定相同。所以，穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價對稱共焦諧振腔，在諧振腔結(jié)構(gòu)上相同的只有均為球面鏡，不一定相同的有菲涅爾數(shù)，腔鏡的曲率半徑、反射率和尺寸，以及腔長；在腔內(nèi)行波上相同的有等相位面分布、雙曲線形狀、束腰位置及大小、遠(yuǎn)程發(fā)散角，不一定相同的有縱模間距、衍射損耗、模體積、鏡面光斑大小，以及輸出激光束的束腰位置及大小、遠(yuǎn)程發(fā)散角等輸出激光參數(shù)。18. 非穩(wěn)腔的優(yōu)點是什么？解題思考：關(guān)鍵概念：非穩(wěn)腔、非穩(wěn)腔模式答：非穩(wěn)腔的主要優(yōu)點有：(1)幾何損耗高，容易鑒別和控制橫模，適用于高功率激光器；(2)模式體積大，對增益介質(zhì)的體積利用率高；(3)有平行光輸出模式，易于得到單端輸出和準(zhǔn)直的平行光束，應(yīng)用方便。19. 幾何損耗存在于哪一類型的諧振腔中？解題思考：關(guān)鍵概念：幾何損耗、衍射損耗，穩(wěn)定腔、介穩(wěn)腔、非穩(wěn)腔答：諧振腔中的損耗主要是指旁軸光線或稱近軸光線的損耗，其中幾何損耗存在于介穩(wěn)腔和非穩(wěn)腔中，穩(wěn)定腔中的旁軸光線不存在幾何損耗。20. 光學(xué)諧振腔的衍射損耗與其什么參數(shù)相關(guān)？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、衍射損耗、菲涅爾數(shù)、橫模關(guān)鍵公式： ，2(1)(1)2omon[,]πmnCRC???2πaNL??答：光學(xué)諧振腔中的衍射損耗，主要由其菲涅爾數(shù)和橫模模階數(shù)決定。21. 為什么說光學(xué)諧振腔積分方程的特征值 的模決定腔損耗？?解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔、特征值、衍射損耗、自再現(xiàn)模關(guān)鍵公式： qqu?1??答：在光學(xué)諧振腔中，自再現(xiàn)模單程傳播所經(jīng)受的光電場衰減由 式中諧振腔qqu?1??積分方程的特征值 描述。將光電場換成光強，即對上式兩邊取平方：e?????221qqIIe?????與諧振腔單程損耗因子： 0eI???比較可得： 2?可見，腔損耗由特征值 的模決定。?22. 為什么說光學(xué)諧振腔積分方程的特征值 的幅角決定光波的單程相移？?23. 穩(wěn)定諧振腔有哪些可能的形式？與非穩(wěn)定諧振腔相比有哪些缺點？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、非穩(wěn)腔、模式答：穩(wěn)定腔的主要形式有：(1)雙凹腔；(2) 平凹腔；(3) 凸凹腔。與非穩(wěn)定諧振腔相比，穩(wěn)定腔的主要缺點有：(1)損耗小，選模能力差； (2)模式體積小，對增益介質(zhì)的體積利用率低。24. 光學(xué)諧振腔有哪些常用研究方法？如何理解自再現(xiàn)模？采用衍射積分方程方法研究激光器的模式和采用幾何光學(xué)的辦法研究各有什么優(yōu)缺點？解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔、自再現(xiàn)模、模式、衍射積分方程方法、幾何光學(xué)辦法答：研究光學(xué)諧振腔常用的方法有兩種，一是幾何光學(xué)辦法，一是衍射積分方程方法。在光學(xué)諧振腔研究中，一般以幾何光學(xué)辦法探討近軸光線在光學(xué)諧振腔中的傳播行為，研究光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性問題；近軸光線在光學(xué)諧振腔中的衍射行為，則采用衍射積分方程方法研究。自再現(xiàn)模則是在考慮了衍射行為的近軸光線，在光學(xué)諧振腔中反復(fù)反射往還后，所形成的有相對穩(wěn)定函數(shù)分布的光電場分布，即光學(xué)諧振腔模式。幾何光學(xué)處理方法，具有簡潔易懂的優(yōu)勢，但只能討論光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性；衍射積分方程方法相對深奧復(fù)雜，但可以提供光學(xué)諧振腔中自再現(xiàn)模的形成、模式光電場的強度和相位分布、腔內(nèi)行波場、衍射損耗等光學(xué)諧振腔模式的所有性質(zhì)。25. 什么是光學(xué)諧振腔的模式？對縱、橫模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、縱模、橫模答：電磁場理論表明，在具有一定邊界條件的腔內(nèi)，電磁場只能存在于一系列分立的本征狀態(tài)之中，場的每種本征狀態(tài)將具有一定的振蕩頻率和空間分布。通常諧振腔內(nèi)可能存在的電磁場本征態(tài)稱為腔的模式。光學(xué)諧振腔的模式，即是這種能夠自再現(xiàn)的穩(wěn)定的電磁場分布，對應(yīng)著光學(xué)諧振腔的一系列本征態(tài)。其中包含著模式自再現(xiàn)物理思想。不同的縱模相應(yīng)于不同的 q 值，對應(yīng)不同的頻率。不同的橫模，對應(yīng)于不同的橫向穩(wěn)定的光場分布和頻率。對縱模要求電磁場在頻域上滿足由駐波條件所要求的諧振條件，對橫模要求損耗小，主要是衍射損耗。26. 諧振腔腔長 L＝1m，介質(zhì)折射率 n＝1，兩腔鏡反射系數(shù)分別為 r1＝1，r2 ＝，求1500MHz 線寬內(nèi)包含的縱模個數(shù)。27. ， 的對稱腔，相鄰縱模的頻率差為多少？10Rcm?40c28. 若法卜里—珀羅平面干涉儀的腔長為 ，它的自由譜寬為多少，能否分辨cm，??= 的 HeNe 激光譜線？46???29. FoxLi 的數(shù)值迭代法解平行平面鏡諧振腔，有哪些結(jié)論，有哪些意義？解題思考：關(guān)鍵概念：平行平面鏡諧振腔、FoxLi 的數(shù)值迭代法答：主要結(jié)論有：(1). 鏡面上的振幅分布為中央強邊緣弱，偶對稱；(2). 鏡面上的相位不是等相位面分布；(3). 單程相移由幾何相移和與橫模相關(guān)的附加相移構(gòu)成；(4). 諧振頻率不只由腔長決定，還與橫模相關(guān)。主要意義有：(1). 首次得到模式，證明模式自再現(xiàn)思想的正確性；它逐次近似計算直接求出了一系列自再現(xiàn)模，從而第一次證明了開腔模式的存在性，并從數(shù)學(xué)上論證了開腔自再現(xiàn)模積分方程解的存在性； (2). 迭代一次，光在腔內(nèi)傳播一次，是個針對光傳輸?shù)木_計算方法；數(shù)學(xué)運算過程與模在腔中往返傳播而形成自再現(xiàn)模的物理過程相對應(yīng)，能加強理解自再現(xiàn)模形成的物理過程；(3). 原則上可應(yīng)用于任何腔型的自再現(xiàn)模計算，利用標(biāo)準(zhǔn)化計算機(jī)程序可以求得任意精確度的數(shù)值解，具有普遍適用性。30. 穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線的單程相對功率損耗 11/γ2，它與單程衍射損耗因子之間有何關(guān)系？31. 試由方形鏡共焦腔內(nèi)行波場，導(dǎo)出腔內(nèi)等相位面表示。32. 同一個光學(xué)諧振腔中的不同橫模，有什么異同？解題思考：關(guān)鍵概念：橫模、諧振腔積分本征方程答：同一個光學(xué)諧振腔中不同橫模的相同點有，都是諧振腔積分本征方程的本征解，都是旁軸傳輸?shù)碾姶挪ㄔ谥C振腔中經(jīng)反復(fù)衍射損耗形成的穩(wěn)定的光電場的穩(wěn)定分布。同一橫模的不同模斑具有反相或同相的相位。同一個光學(xué)諧振腔中不同橫模的不同點有，光斑形狀、大小以及光電場偏振方向，另外，相位無固定關(guān)系。33. 高階橫模的不同模斑若相遇，能否干涉，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：橫模、橫模的相位關(guān)系答：同一高階橫模的不同模斑間，具有反相或同相的固定的相位關(guān)系。若相遇，則干涉相消或加強。不同高階橫模，相位無固定關(guān)系。若相遇，不會干涉。34. 分別由方形鏡和圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔有沒有區(qū)別，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：方形腔鏡、圓形腔鏡、穩(wěn)定腔、等價對稱共焦腔關(guān)鍵公式： 2πaCNL??2答：有區(qū)別。區(qū)別主要表現(xiàn)在兩者的模式場解上。雖然兩者在模式光束形狀、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)散角等方面有相同的表達(dá)式，但卻存在以下明顯的區(qū)別：（1）模斑形狀方形鏡對稱共焦腔模式場強的解主要由角向長橢球函數(shù)這種特殊函數(shù)構(gòu)成，在腔的菲涅爾數(shù) N 值較大的情況下可以近似為厄米多項式的形式，具有 x 軸和 y 軸對稱性。圓形鏡對稱共焦腔模式場強的解主要由超橢球函數(shù)構(gòu)成，在腔的菲涅爾數(shù) N 值較大的情況下，可以近似表示為拉蓋爾多項式的形式，具有圓對稱性。無論是方形鏡或者是圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔，其模式場模斑形狀軍營與其等價的對稱共焦腔的模式場相似，所以，方形鏡和圓形鏡穩(wěn)定腔模斑形狀的區(qū)別，應(yīng)為具有 x 軸和 y 軸對稱性的厄米多項式模斑形狀，與具有圓對稱性的拉蓋爾多項式模斑形狀的區(qū)別。（2）模式頻率方形鏡對稱共焦腔模式場對應(yīng)相位的幅角解為： π(1)2mnkL??各階橫模的諧振頻率為： )]1(2[cmnq ??nm??圓形鏡對稱共焦腔模式場對應(yīng)相位的幅角解為： π(21)plkL??各階橫模的諧振頻率為： )]12([c??lpqplq??因穩(wěn)定諧振腔與其等價的對稱共焦腔在模式場上的相似性，方形鏡和圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔的模式頻率，也應(yīng)有類似的區(qū)別。35. 能否得到穩(wěn)定腔橫模的解析表示，為什么？36. 為什么說對稱共焦腔非常重要？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、共焦腔、對稱共焦腔、等價對稱共焦腔答：對稱共焦腔的衍射積分本征方程，有解析解，因此其腔內(nèi)行波場有解析函數(shù)表示，相關(guān)模式特征和形貌明確。穩(wěn)定腔是一類常用的激光器腔