泰勒展開式中余項的應用畢業(yè)設計(編輯修改稿)
2025-07-22 11:58 本頁面
【文章內容簡介】 凸性及拐點泰勒展開式在各個領域有著廣泛的應用,.例 5 設在上連續(xù),則為的凸函數(shù).證明: 設為內任意兩點,令,將在處按帶佩亞諾型余項的泰勒公式展開,有. （1）將分別代入（1）式中,得到, （2）. （3）（2）加（3）,得到. 因為函數(shù)泰勒公式中的佩亞諾型余項為的高階無窮小量,而又足夠小,又因為,所以,從而有.即,故.由的任意性可得,從而在內是凸函數(shù).本題的關鍵在于利用泰勒展開式的余項建立了三個等式，進而進行推理證明。例6 如果在某內階可導,滿足,:若為奇數(shù),則為拐點。若為偶數(shù),則不是拐點.證明: 將導函數(shù)在點處按帶佩亞諾型余項的泰勒公式展開,有由于,代入上式中有.又因為泰勒展開式的余項為的高階無窮小,在點的兩邊,異號所以的符號相異,在點的兩邊的符號相同,所以不是拐點. 判別廣義積分收斂性在判定廣義積分的收斂性時通常用作為比較對象,從而找到恰當?shù)捻樌鉀Q問題.例 6 研究廣義積分的斂散性.解: ,分別將,在處按帶佩亞諾型余項的泰勒公式展開,可以得到,代入被積函數(shù)中,有,由比較判別法知原廣義積分也收斂.例7 討論無窮積分的斂散性.解: 將被積函數(shù)在處按帶佩亞諾型余項的泰勒公式展開,得.選取,因為而,所以由無窮積分斂散性判別定理得知收斂.例8 判斷廣義積分是否收斂？解: 由函數(shù)在處的帶佩亞諾型余項的泰勒公式,有.于是可以得到,.代入積分表達式中并整理,有. 由于,所以是的一階無窮大量,而發(fā)散,故由比較判別法知原積分也發(fā)散. 判別級數(shù)斂散性泰勒展開式能將某些函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù),這種化繁為簡的功能使得在級數(shù)的通項表達式是由不同類型函數(shù)構成的繁瑣形式時,可以進行簡化或轉換成統(tǒng)一形式,以便于利用判別準則判斷級數(shù)斂散性.例9 討論級數(shù)的斂散性.分析: 首先需要判斷級數(shù)是否為正項級數(shù),但直接根據(jù)級數(shù)的通項去判斷存在一定的困難,若令,不妨考慮將進行泰勒展開,會簡化判別過程.解: 不妨設,將在處按帶佩亞諾型余項的泰勒公式展開,有.令,代入上式,.在不等式兩邊同時開二次方,得到,由正項級數(shù)比較判別法知原級數(shù)收斂.例10 判斷級數(shù)的斂散性.解: 將函數(shù),分別在處按帶佩亞諾型余項的泰勒公式展開,得到,.代入原級數(shù)中并整理,有因此有,由比較原則的極限形式知,所以原級數(shù)發(fā)散.例11 設偶函數(shù)二階導數(shù)在點鄰域內連續(xù),且滿足,則級數(shù)絕對收斂.分析: 題中已知條件“二階導數(shù)在點鄰域內連續(xù)”這一信息提示可使用泰勒公式,而,可以使在點的展開式變得簡單,不妨考慮剩余的
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