淺談向量在幾何中的應用學士學位論文(編輯修改稿)
2025-07-22 02:29 本頁面
【文章內容簡介】 為的中點，求證面面。 證明：以為原點，如圖建立坐標系， 設，， 則，， 所以，設， 所以， ， 設面的法向量為，則 且， 解得， 所以。 設面的法向量為，則 且。 取，則，則， 所以，所以， 所以面面。 設直線、的方向向量分別為和，那么，當，時，若，則。例6：現有兩條直線，的方向向量為，的方向向量為，是判斷兩條直線是否垂直？解：因為， 所以和不垂直。設直線的方向向量為，平面的法向量為，則。若，則。當，時。例7：在棱長為1的正方體中，、分別為和的中點，試在棱上找一點，使得平面。證明：分別以、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系 ， 則，，。 所以， 又因為、分別為、的中點， 所以， 又因為， 由于平面， 所以且。 即。 所以， 所以。 故取的中點就能滿足平面。設平面、的法向量分別為、那么。若、是與平行的兩個不共線向量，是平面的法向量，則。例8：在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形平面，,、分別為、的中點，且。求證：平面平面。證明：以為原點，向量,分別為軸、軸、軸的正方向， 如圖建立坐標系，設，則， 則,，。 則，， 所以，， 設平面的法向量，則 且。 取，則，所以。 易證平面的法向量為, 因為, 所以。 所以，平面平面。（2） 三大角1. 線線角 ，是兩異面直線，，，所成的角為，則有，所以。例9：在棱長為1的正方體中，分別為和的中點，那么直線與所成的角是多少？解：因為，, 所以。 又因為 同理可得：。 設與所成的角為，則, 所以。2. 線面角設直線的方向向量為，平面的法向量為，則。例10：如圖，正三棱柱的底邊長為，側棱長為，求與側面所成的角。解：根據正三棱柱的性質，建立如圖所示的空間直角坐標系，則， 。 取的中點，則， 連,則有。 由于， 所以平面， 所以是與側面所成的角。 因為， 所以， 而， 所以， 所以，即與側面所成的角為。3. 二面角設平面，的法向量分別為，則。例11：已知平面，且，，求二面角的大小。解：過作于，過作于， 則二面角的大小等于向量與的夾角大小。 令,由平面， 知為的中點，且。 由，知。 由三垂線定理知：。 又因為， 所以， ，從而為的中點。 如圖建立空間直角坐標系，則，, , 所以。 則。 所以， 即二面角的大小為。（3） 四大距離1. 兩點間的距離 例12：在的二面角中。已知、到的距離分別是和，且，求的長度。 解：如圖所示，作， 則，且。 又因為， 所以。 因為， 所以。 即：的長度為。2. 點與線之間的距離例13：設為矩形所在平面外的一點，直線垂直于平面外的一點，直線垂直平面，，求點到直線的距離。解：因為， 所以在上
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