向量三點(diǎn)共線定理及其延伸應(yīng)用匯總(編輯修改稿)
2025-07-22 02:12 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 與A、B、C三點(diǎn)均不重合，則三點(diǎn)A、B、C共線存在s，t∈R，且st≠0，使得，此時(shí)，s≠t，否則，從而B(niǎo)點(diǎn)與C點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾，故有：，即：。顯然s+t+[(s+t)]=0令,故得證。推論五： 設(shè)O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則三個(gè)不同點(diǎn)A、B、C不共線若存在實(shí)數(shù)，使且則=0。推論五實(shí)質(zhì)是推論四的逆否命題。推論六：點(diǎn)P在ΔABO的內(nèi)部（不含邊界）存在正實(shí)數(shù)，使得，BN1NP1AM1MOP且。證：：如圖，必要性：若點(diǎn)P在ΔABO的內(nèi)部（不含邊界），則，延長(zhǎng)OP交AB于P1，過(guò)P作OA、OB的平行線，分別交OA，OB于M，N點(diǎn)，過(guò)P1作OA，OB的平行線，分別交OA，OB于M1，N1點(diǎn)，顯然。其中顯然。由于.而充分性由上述各步的可逆性易知。事實(shí)上，我們可以將推論三與推論六整合在一起，導(dǎo)出推論七：推論七：已知平面內(nèi)不共線向量，且。分別記過(guò)點(diǎn)A且與BC平行的直線為，直線BC，AB，：P點(diǎn)在直線上；P點(diǎn)在直線不含A點(diǎn)一側(cè)；P點(diǎn)在直線與之間；P點(diǎn)在直線上；P點(diǎn)在直線不含直線一側(cè)；P點(diǎn)在直線不含C點(diǎn)一例；P點(diǎn)在直線含C點(diǎn)一側(cè)；P點(diǎn)在直線不含B點(diǎn)一側(cè)，P點(diǎn)在直線含B點(diǎn)一側(cè)。l3l4l2l1P3④⑤③②⑥AP1⑧①⑦⑨BCP2證：設(shè)直線AP與直線BC相交于點(diǎn)，則設(shè)，則故P若在直線BC上，則,又∵共線，則,故：,則,∵AB、AC不共線，則.∴（1）若P在①區(qū)域內(nèi)，則0k1，即0，且均為正實(shí)數(shù)，即。（2）若P在②區(qū)域內(nèi)，則0k1，t1，則，且。（3）若P在③區(qū)域內(nèi)，則
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