數(shù)值分析-全部-知識(shí)點(diǎn)(編輯修改稿)
2025-07-21 21:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 法的求解過(guò)程分為兩個(gè):“消元”：把原方程組化為上三角方程組；“回代”：求上三角方程組的解。 研究下面線性方程組的Gauss消元法求解結(jié)果，假設(shè)計(jì)算在4位浮點(diǎn)十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算機(jī)上求解。當(dāng)將方程組輸入計(jì)算機(jī)后，計(jì)算機(jī)中記錄為可以進(jìn)行Gauss消元法計(jì)算。因?yàn)?，做第一步Gauss消元法，有類似有，得方程組回代，求得解，但這個(gè)解不滿足原方程組，求出的解是錯(cuò)誤的！若將本例的方程組調(diào)換方程的次序，變?yōu)樵谕粋€(gè)計(jì)算機(jī)上再用Gauss消元法計(jì)算，可得到解，它與原方程組的準(zhǔn)確解，相差不多，是可以接受的解，主要是舍入誤差造成的。LU分解法：基本思想：將方程組的系數(shù)矩陣A分解為下三角矩陣L與上三角矩陣U的乘積，即，使求解的問(wèn)題變?yōu)榍蠼鈨蓚€(gè)三角矩陣和的問(wèn)題。即 Doolittle分解算法A可以進(jìn)行Doolittle分解的條件，：非奇異矩陣A的Doolittle分解是唯一的。，且A的各階順序主子式，則A有唯一的Doolittle分解。即：能進(jìn)行Gauss消元法就能做Doolittle分解。Doolittle分解的緊湊格式按下圖方式存貯和計(jì)算的格式稱為Doolittle分解的緊湊格式。解 因?yàn)闆](méi)有指定用哪種LU分解，這里使用Doolittle分解法做之。用緊湊格式計(jì)算。緊湊格式故， 設(shè)非奇陣，稱為矩陣A的條件數(shù)。條件數(shù)值越大，解對(duì)系數(shù)越敏感方程組越病態(tài)。Chapter4．冪法：基本思想:、初始向量，誤差eps，實(shí)用中一般??；(k) 220。Au(k1) 220。 max(V(k)), mk1 220。 max(V(k1))(k) 220。 V(k)/mk |mk mk1|eps,則顯示特征值mk 和對(duì)應(yīng)的特征向量u(k),終止7．k220。k+1,轉(zhuǎn)3；Jacobi方法：基本思想：將實(shí)對(duì)稱矩陣進(jìn)行一系列的相似正交變換使其約化成一個(gè)近似對(duì)角矩陣，然后利用相似正交變換的關(guān)系來(lái)求全部特征值和特征向量。QR方法，基本思想：利用矩陣的QR分解，通過(guò)逆序相乘產(chǎn)生對(duì)原矩陣的一系列正交相似變換，使其變化為一個(gè)近似的上三角矩陣來(lái)求全部特征值。這里QR分解是指將矩陣化為一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R左乘的形式。QR算法 ① 對(duì)作QR分解，得到矩陣。 ② 逆序相乘的分解矩陣，③ 判別是否為主對(duì)角線為1*1或2*2的子塊形式的分塊上三角形矩陣，若是對(duì)角線上各子塊的特征值為所求特征值，終止，否則k+1k，轉(zhuǎn)①。 設(shè)非零向量，則稱矩陣為Householder矩陣，式中。 設(shè)向量，試構(gòu)造一個(gè)鏡面反射矩陣P，使，式中。解 ，得所求鏡面反射矩陣。Chapter 5 Lagrange插值：基本思想將待求的n次多項(xiàng)式插值函數(shù)改寫成用已知函數(shù)值為系數(shù)的n+1個(gè)待定n次多項(xiàng)式的線性組合型式，再利用插值條件和函數(shù)分解技術(shù)確定n+1個(gè)待定n次多項(xiàng)式形式求出插值多項(xiàng)式。構(gòu)造原理已知數(shù)表 … …設(shè)n次插值多項(xiàng)式式中是與無(wú)關(guān)的n次多項(xiàng)式。由插值條件（），有由于與無(wú)關(guān)，可得為確定，注意到是n次多項(xiàng)式，由式可知式中a為待定常數(shù)，由確定，于是有 代入式（），有定理3. 設(shè)函數(shù)在[a,b]上有n+1階導(dǎo)數(shù)，是滿足插值條件的n次插值多項(xiàng)式，則有對(duì)任何成立式中。 證明 因?yàn)?，故有于是Rn（x）可分解為為求出k(x)，做輔助函數(shù)則有在時(shí)，g(t)=0，即g(t)在[a,b]上有n+2個(gè)零點(diǎn)，顯然g(t)在由組成的n+1個(gè)小閉區(qū)間上滿足Rolle中值定理，故g39。(t) 在[a,b]上有n+1個(gè)零點(diǎn)。類似的有g(shù)178。(t) 在[a,b]上有n個(gè)零點(diǎn)，反復(fù)運(yùn)用Rolle中值定理，有在[a,b]上有1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x，則有。在上式兩邊對(duì)t求n+1階導(dǎo)數(shù)，有將t =x 代入上式，代入式（），即得定理結(jié)果。例1 已知的函數(shù)表為xy
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