正態(tài)模型單參數(shù)的貝葉斯估計(jì)的漸近性1117(編輯修改稿)
2025-07-21 18:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 密度，和有共同的邊際密度，如式（3）所示．為歷史觀測(cè)值，為當(dāng)前觀測(cè)值．和有相同的先驗(yàn)分布，但和不可觀測(cè)．根據(jù)已觀測(cè)到的數(shù)據(jù)采用密度函數(shù)的核估計(jì)方法來(lái)構(gòu)造和估計(jì)式．設(shè)為B0rel可測(cè)函數(shù)，滿足下例條件： 定義和的核估計(jì) ?。ǎ担 。ā。?，將估計(jì)式（５）代入式（4），于是得到的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯估計(jì)為 ?。?、經(jīng)驗(yàn)估計(jì)的漸近性引理２ 在平方損失函數(shù)下，理論貝葉斯估計(jì)與經(jīng)驗(yàn)貝葉斯估計(jì)的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)分別為，則它們的全面貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)的差為 ． ?。ǎ叮┥鲜街斜硎緦?duì)的聯(lián)合分布求期望，表示對(duì)的邊際分布求期望，表示對(duì)的聯(lián)合分布求期望．證明 ．于是式（６）成立．引理３ 由式（５）給出的和，則當(dāng)時(shí)有；（７）?。ǎ福┦街袨橛邢蕹?shù)．證明 式（7）證明，根據(jù)不等式和Jensen不等式得到 ．．由泰勒公式將函數(shù)在處展開(kāi)得 式中，由函數(shù)的性質(zhì)可得，．因?yàn)?，將在處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，于是的階導(dǎo)數(shù)可表示為：，其中為的階多項(xiàng)式，所以 ，為自然數(shù)．＋．式中令，為有限常數(shù)．至此式（７）成立，同理可證式（８）成立．定理 若參數(shù)的先驗(yàn)分布且滿足 ，則當(dāng)時(shí)，有?。C明 由引理２知．再由引理３知 其中為有限常數(shù)．于是有 ．至此證明了經(jīng)驗(yàn)貝葉斯估計(jì)的漸
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