【文章內容簡介】 utetr ? ； （ 4） )1()( tetr ?? ； （ 5） )2()( tetr ? ； （ 6） )()( 2 tetr ? ； （ 7） ?? detr t???? )()(； （ 8） ?? detr t???? 5 )()(。 解 （ 1）由于 dttdetrtedttdetrte)()()()()()(222111???? 而 dt tdeCtrdt tdeCtrCtrCteCteC )()()()()()()( 2221122112211 ????? 所以系統(tǒng)是線性的。 當 dt tdetrte )()()( ?? ，而激勵為 )( 0tte ? 時，響應為 )()( )()( 0000 ttrttd ttdedt ttde ?????? 所以系統(tǒng)是時不變的。 由 dttdetr )()( ? 可知，響應 )(tr 只與此時的輸入 )(te 有關，與這之前或之后的輸入都無關，所以系統(tǒng)是因果的。 （ 2）由于 )()()()( )()()()( 222 111 tutetrte tutetrte ?? ?? 而 )()()()()()()()( 221122112211 trCtrCtuteCtuteCteCteC ????? 所以系統(tǒng)是線性的。 由于當 )1()1()(1 ???? tutute 時， )1()()(1 ??? tututr 而 )2()()1()( 12 ????? tututete 時， )1()2()()( 12 ????? trtututr ， 即當激勵延遲 1個單 位時，響應并未延遲相同的時間單位，所以系統(tǒng)是時變的。 由 )()()( tutetr ? 可知，系統(tǒng)只與激勵的現在值有關，所以系統(tǒng)是因果的。 （ 3）由于 )()](s in [)()( )()](s in [)()( 222 111 tutetrte tutetrte ?? ?? 而 ? ? )()](s in [)()](s in [)()( )()()()(s in)()()(2211221122112211 tuteCtuteCtrCtrC tuteCtuteCtrteCteC ???? ???? 所以系統(tǒng)是非線性的。 當激勵為 )( 01 tte ? 時，響應 )()()](s in [)()](s in [)( 00011 ttrttuttetutetr ?????? 所以系統(tǒng)是時變的。 由 )()](sin[)( tutetr ? 可知，響應只與激勵的現在值有關，所以系統(tǒng)是因果的。 （ 4）由于 )1()()( )1()()( 222 111 tetrte tetrte ??? ??? 而 )()()1()1()()()( 221122112211 trCtrCteCteCtrteCteC ???????? 所以系統(tǒng)是線性的。 由于當 )()()(1 ??? tutute 時， )1()()(1 ???? tututr 而當 )2()()()( 12 ?????? tututete 時，)()()1()( 12 ?????? trtututr 所以系統(tǒng)是時變的。 令 )1()( tetr ?? 中 0?t ，則有，說 )1()0( er ? 明響應取決于將來值（ 0時刻輸出取決于 1時刻輸入），所以系統(tǒng)是非因果的。 （ 5）由于 )2()()( )2()()( 222 111 tetrte tetrte ?? ?? 而 )()( )2()2()()( 2211 22112211 trCtrC teCteCteCteC ?? ??? 所以系統(tǒng)是線性的 由于當 )1()()(1 ??? tutute 時， )()()(1 ??? tututr 而當 )2()1()1()( 12 ?????? tututete )1()1()()( 12 ?????? trtututr 所以系統(tǒng)是時變的。 對于 )2()( tetr ? ，令 1?t ，有 )2()1( er ? ，即響應先發(fā)生，激勵后出現，所以系統(tǒng)是非因果的。 （ 6）由于 )()()( )()()( 22222111tetrte tetrte ?? ?? 而 ? ?)()( )()()()()(2211222112211trCtrC teCteCtrteCteC ?? ???? 所以系統(tǒng)是非線性的。 由于 )()()( 2111 tetrte ?? )()()()()( 010212020 ttrttetrttete ??????? 所以系統(tǒng)是時不變的。 由 )()( 2 tetr ? 知，輸出只與現在的輸入值有關，所以系統(tǒng)是因果的。 （ 7）由于 ????detrtedetrtett??????????)()()()()()(222111 而)()()()()()(221122112211trCtrCdeCdeCteCteC tt????? ?? ???? ???? 所以系統(tǒng)是線性的。 由于 )()()()(000 00 ttrdaaedtrtte t ttat ???? ????? ? ??? ???????? 所以系統(tǒng)是時不變的。 由 ?? detr t???? )()(可知， t時刻的輸出只與 t時 刻以及 t時刻之前的輸入有關，所以系統(tǒng)是因果的。 （ 8）由于 ????detrtedetrtett??????????52225111)()()()()()( 而)()())()()()()()(2211522511522112211trCtrCdeCdeCdeCeCteCteC ttt??????? ??? ?????? ??????? 所以系統(tǒng)是線性的。 由于 )()()()()(0)(555 00 00 ttrdaaedaaedtette tttatt ????? ????? ??? ????????? ??? 所以系統(tǒng)是時變的 對于 ?? detr t???? 5 )()(，令 1?t ，有 ?? der ???? 5 )()1( 即輸出與未來時刻的輸入有關，所以系統(tǒng)是非因果的。 121 判斷下列系統(tǒng)是否是可逆的。若可逆，給出它的逆系統(tǒng)；若不可逆，指出使該系統(tǒng)產生系統(tǒng)輸出的 兩個輸入信號。 （ 1） )5()( ?? tetr ； （ 2） )()( tedtdtr ? ； （ 3） ?? detr t???? )()(； （ 4） )2()( tetr ? 。 解 （ 1）該系統(tǒng)可逆，且其逆系統(tǒng)為 )5()( ?? tetr （ 2）該系統(tǒng)不可逆，因為當， ,)()( 2211 CteCte ?? ， （ 21 CC? 且均為常數）時，)()( 21 trtr ? ，即不同的激勵產生相同的響應，所以系統(tǒng)不可逆。 （ 3） 該系統(tǒng)可逆。因為微分運算與積分運算式互逆的運算，所以其逆系統(tǒng)為)()( tedtdtr ? 。 （ 4）該系統(tǒng)可逆，且其逆系統(tǒng)為 )2()( tetr ? 。 122 若輸入信號為，為使輸出信號中分別包含以下頻率成分： （ 1） )2cos( 0t? ； （ 2） )3cos( 0t? ； （ 3）直流 。 請你分別設計相應的系統(tǒng)（盡可能簡單的）滿足此要求，給出系統(tǒng)輸出與輸入的約束關系式。討論這三種要求有何共同性、相應的系統(tǒng)有何共同性。 解 （ 1）若系統(tǒng)的輸入、輸 出具有約數關系 )2()( tetr ? 則當此系統(tǒng)的輸入信號為 )cos( 0t? 時，輸出信號中會包含 )2cos( 0t? 。 （ 2）若系統(tǒng)的輸入、輸出具有約數關系 )3()( tetr ? 則當此系統(tǒng)的輸入信號為 )cos( 0t? 時，輸出信號中會包含 )3cos( 0t? 。 （ 3）若系統(tǒng)的輸入、輸出具有約數關系 Ctetr ?? )()( （ C 為非零 常數） 則當此系統(tǒng)的輸入信號為 )cos( 0t? 時，輸出信號中會包含直流成分。 三個小題中，輸入信號均為 )cos( 0t? ，而輸出信號中分別包含 )2cos( 0t? ， )3cos( 0t?和直流頻率成分，說明新的頻率分量產生，也就是說信號 )cos( 0t? 經系統(tǒng)傳輸后，產生了新的頻率成分，此為三種要求的共同性。因此在設計系統(tǒng)中，要考慮改變輸入信號的頻率或增加新的頻率成分，此為三個系統(tǒng)的共性。 123 有一線性時不變系統(tǒng)，當激勵 )()(1 tute ? 時，響應 )()(1 tuetr at?? ，試求當激勵 )()(1 tte ?? 時，相應的響應 )(2tr 表達式。（假定起始時刻系統(tǒng)無儲能。） 解 因為起始時刻系統(tǒng)無儲能，所以響應就是零狀態(tài)響應。 有 LTI系統(tǒng)的微分性質，即若當激勵為 )(te 時產生的響應為 )(tr ，則當激勵為 dttde)(時產生的響應為 dttdr)( ，有 )()()()()]([)()()()()()()(2211tuaettetuaedt tuedtrttetuetrtuteatatatatat??????????????????? 21 對圖 21 所示電路分別列寫求電壓 )(0tv 的微分方程表示。 )(1 ti )(2 ti1 F1 Ω1 H2 H2 Ω )( te+)( tv o（ a ）+（ c ）+C )(1 tv)(ti 1R+)(1 tv? 1L 1C )( tv o+)(e+C LLCRR)( tv o+MR（ c ）)te++)(1 tv?CR )( tvo+)(1 tv+（ d ）圖 2 1解 （ a）對于圖 21（ a）所示電路列寫網孔電流方程，得 ? ???????????????? ????? ??tt ttvidiitedididt tdii)()()()()()()()(202122111???????? 又 dt tditv )(2)( 20 ? 消元可得如下微分方程： )(3)(5)(5)(2 00022033 tvtvdtdtvdtdtvdtd ??? =2 )(tedtd （ b）對于圖 21（ b）所示的雙耦合電路，列寫電路微分方程，得 ?????????????????????????)()(0)()()()(1)()()()()(10221221211tvtRitRidttdiMdttdiLdiCtetRidttdiMdttdiLdiCtt???? 消元可得如下微分方程： )()(1)(2)(2)(2)()(22020202203304422tedtdMRtvCtvdtdCRtvdtdRRLtvdtdRLtvdtdML????????? ???? （ c）對于圖 21（ c）所示電路列寫電路方程，得 ?????????????? ????? ?? )()()(1)()()()(10101011tvtvdtdCdttvLRtvRtvtvdtdCtit ? 消元可得如下微分方程： )()(1)(1)()(101011022110331 tidtdRtvRLtvdtdRRLCtvdtdRCRCtvdtdCC ??????????? ?????????? ?? （ d）對圖 21（ d）所示電路列寫電路方程，電流 )(ti 如圖 22 所示，得 ????????????? ???)()()()()()()()(1)(1011tvtvtetvtRitetvdiCtRi t???? 消元可得如下微分方程： )(te++)(1 tv?CR )(tvo+)(1 tv+圖 2 2)(ti)()(1)()1( 00 teRtvRtvdtdC ?? ??? 22 圖 23 所示為理想火箭推動器模型。火箭質 量為 1m ，荷載艙質量為 2m ，兩者之間用鋼度系數為 k 的彈簧相連接?；鸺秃奢d艙各自受到摩擦力的作用，摩擦系數分別為 1f 和 2f 。求 火箭推進力 )(te 與荷載艙運動速度 )(2tv 之間的微分方程表