高三年級函數(shù)壓軸大題帶答案解析(編輯修改稿)
2025-07-20 15:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 Ⅱ）當點、與共線時，＝，即＝，化簡，得，． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得．存在，使得點、與三點共線，且 ． ……………………9分（Ⅲ）解法：易知在區(qū)間上為增函數(shù)，則．依題意，不等式對一切的正整數(shù)恒成立， …………11分，即對一切的正整數(shù)恒成立，．， ，．由于為正整數(shù)，． ……………………………13分又當時，存在，對所有的滿足條件．因此，的最大值為． ……………………………14分解法：依題意，當區(qū)間的長度最小時，得到的最大值，即是所求值．，長度最小的區(qū)間為， …………………11分當時，與解法相同分析，得，解得． 6設函數(shù)是定義域在上的單調(diào)函數(shù)，且對于任意正數(shù)有，已知.（1）求的值；（2）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，其中是數(shù)列的前n項的和，求數(shù)列的通項公式；（3）在（2）的條件下，是否存在正數(shù)，使 對一切成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，說明理由.解：（1）∵，令，有，∴.再令，有，∴，∴（2）∵,又∵是定義域上單調(diào)函數(shù)，∵，∴ ……①當時，由，得，當時， ……②由①－②，得，化簡，得 ，∴，∵，∴，即，∴數(shù)列為等差數(shù)列. ，公差.∴，故. （3）∵，令=,而. ∴=， ∴，數(shù)列為單調(diào)遞增函數(shù)，由題意恒成立，則只需=，∴ ，存在正數(shù)，使所給定的不等式恒成立，的取值范圍為.……13分：（1）值域為，且當時，；（2）對于定義域內(nèi)任意的實數(shù)，均滿足：試回答下列問題：（Ⅰ）試求的值；（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）若函數(shù)存在反函數(shù)，求證：．分析與解：（Ⅰ）在中，令，則有．即：．也即：．由于函數(shù)的值域為，所以，所以．（Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到，于是，由已知，我們可以聯(lián)想到：是否有？（＊）這個問題實際上是：是否成立？為此，我們首先考慮函數(shù)的奇偶性，也即的關系．由于，所以，在中，令，得．所以，函數(shù)為奇函數(shù)．故（＊）式成立．所以，．任取，且，則，故且．所以，所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞減．（Ⅲ）由于函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)必存在反函數(shù)，由原函數(shù)與反函數(shù)的關系可知：也為奇函數(shù)；在上單調(diào)遞減；且當時，．為了證明本題，需要考慮的關系式．在（＊）式的兩端，
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