【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 　虛　數(shù)　不　虛　　在學(xué)習(xí)開方時(shí)，總是要再三強(qiáng)調(diào)，被開方數(shù)一定要是非負(fù)數(shù)，被開方數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，開方?jīng)]有意義，眾所周知，人們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)總是螺旋式上升的?，F(xiàn)在，我們知道對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行開方可以用來表示一個(gè)虛數(shù)。 　　在很久以前，大多數(shù)學(xué)家都認(rèn)為負(fù)數(shù)沒有平方根。到1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在所著《重要的藝術(shù)》的第37章中列出并解出把10分成兩部分，使其乘積為40的問題，方程是ｘ（10－ｘ）＝40，他求得根為 ，然后說，不管會(huì)受到多大的良心責(zé)備，把 相乘，得乘積為25－（－15）或即40，卡爾丹在解三次方程時(shí)，又一次運(yùn)用了負(fù)數(shù)的平方根。卡爾丹肯定了負(fù)數(shù)的平方根的用處，但當(dāng)時(shí)，人們對(duì)它的認(rèn)識(shí)也僅止于此。 　　　　實(shí)數(shù)、虛數(shù)這兩個(gè)詞是由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在1637年率先提出來的。而用ｉ＝ 表示虛數(shù)的單位是18世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家歐拉的功績。后來的人在這兩個(gè)成果的基礎(chǔ)上，把實(shí)數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來，記成ａ＋ｂｉ形式，稱為復(fù)數(shù)。 　　　　在虛數(shù)剛進(jìn)入數(shù)的領(lǐng)域時(shí)，人們對(duì)它的用處一無所知，實(shí)際生活中也沒有用復(fù)數(shù)來表示的量，因而，最初人們對(duì)虛數(shù)產(chǎn)生懷疑和有一種不接受的態(tài)度。萊布尼茲稱虛數(shù)是既存在又不存在的兩棲物。歐拉盡管用它，但也認(rèn)為虛數(shù)是虛幻的。 　　測(cè)量學(xué)家維塞爾用ａ＋ｂｉ表示平面上的點(diǎn)。后來，高斯的復(fù)平面的概念，使復(fù)數(shù)有了真正的立足之地，從此復(fù)數(shù)就開始表示向量（有方向的數(shù)量），在水力學(xué)、地圖學(xué)、航空學(xué)中有著日益廣泛的應(yīng)用。 　數(shù)　的　由　來　和　發(fā)　展 　　你是否看過雜技團(tuán)演出中小狗做算術(shù)這個(gè)節(jié)目？臺(tái)下觀眾出一道10以內(nèi)的加法題，比如2+5，由演員寫到黑板上。小狗看到后就會(huì)汪汪汪……叫7聲。臺(tái)下觀眾會(huì)報(bào)以熱烈的掌聲，對(duì)這只狗中的數(shù)學(xué)尖子表示由衷的贊許，并常常驚嘆和懷疑狗怎么會(huì)這么聰明？因?yàn)樵谝话闳丝磥砉肥遣粫?huì)有數(shù)量概念的。 　　人類是動(dòng)物進(jìn)化的產(chǎn)物，最初也完全沒有數(shù)量的概念。但人類發(fā)達(dá)的大腦對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)已經(jīng)達(dá)到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實(shí)踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。結(jié)繩記事也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國古書《易經(jīng)》中有結(jié)繩而治的記載。傳說古代波斯王打仗時(shí)也常用繩子打結(jié)來計(jì)算天數(shù)。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計(jì)數(shù)也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數(shù)的概念和記數(shù)的符號(hào)。 　　數(shù)的概念最初不論在哪個(gè)地區(qū)都是4……這樣的自然數(shù)開始的，但是記數(shù)的符號(hào)卻大小相同。　　古羅馬的數(shù)字相當(dāng)進(jìn)步，現(xiàn)在許多老式掛鐘上還常常使用?！　?shí)際上，羅馬數(shù)字的符號(hào)一共只有7個(gè)：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個(gè)符號(hào)位置上不論怎樣變化，它所代表的數(shù)字都是不變的。它們按照下列規(guī)律組合起來，就能表示任何數(shù)： 　　1．重復(fù)次數(shù)：一個(gè)羅馬數(shù)字符號(hào)重復(fù)幾次，就表示這個(gè)數(shù)的幾倍。如：III表示3；XXX表示30。 　　2．右加左減：一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)右邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào)，就表示大數(shù)字加小數(shù)字，如VI表示6，DC表示600。一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)左邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào)，就表示大數(shù)字減去小數(shù)字的數(shù)目，如IV表示4，XL表示40，VD表示495。 　　3．上加橫線：在羅馬數(shù)字上加一橫線，表示這個(gè)數(shù)字的一千倍。如： 表示 15,000， 表示165,000。 　　我國古代也很重視記數(shù)符號(hào)，最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數(shù)的符號(hào)，不過難寫難認(rèn)，后人沒有沿用。到春秋戰(zhàn)國時(shí)期，生產(chǎn)迅速發(fā)展，適應(yīng)這一需要，我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法籌算。籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的。按規(guī)定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數(shù)的符號(hào)了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數(shù)字?！　乃慊I數(shù)碼中沒有10這個(gè)數(shù)可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴(yán)格遵循十位進(jìn)制。9位以上的數(shù)就要進(jìn)一位。同一個(gè)數(shù)字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計(jì)算法在當(dāng)時(shí)是很先進(jìn)的。因?yàn)樵谑澜绲钠渌胤秸嬲褂檬M(jìn)位制時(shí)已到了公元6世紀(jì)末。但籌算數(shù)碼中開始沒有零，遇到零就空位。比如6708，就可以表示為┴ ╥ 。數(shù)字中沒有零，是很容易發(fā)生錯(cuò)誤的。所以后來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯(cuò)，這或許與零的出現(xiàn)有關(guān)。不過多數(shù)人認(rèn)為，0這一數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)明應(yīng)歸功于公元6世紀(jì)的印度人。他們最早用黑點(diǎn)（）表示零，后來逐漸變成了0。 　　說起0的出現(xiàn)，應(yīng)該指出，我國古代文字中，零字出現(xiàn)很早。不過那時(shí)它不表示空無所有，而只表示零碎、不多的意思。如零頭、零星、零丁。一百零五的意思是：在一百之外，還有一個(gè)零頭五。隨著阿拉數(shù)字的引進(jìn)。105恰恰讀作一百零五，零字與0恰好對(duì)應(yīng)，零也就具有了0的含義。 　　如果你細(xì)心觀察的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)羅馬數(shù)字中沒有0。其實(shí)在公元5世紀(jì)時(shí)，0已經(jīng)傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用0。有一位羅馬學(xué)者在筆記中記載了關(guān)于使用0的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。 　　但0的出現(xiàn)，誰也阻擋不住?，F(xiàn)在，0已經(jīng)成為含義最豐富的數(shù)字符號(hào)。0可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫 ，并不是說沒有氣溫；0是正負(fù)數(shù)之間唯一的中性數(shù)；任何數(shù)（0除外）的0次冪等于1；0！=1（零的階乘等于1）。　　除了十進(jìn)制以外，在數(shù)學(xué)萌芽的早期，還出現(xiàn)過五進(jìn)制、二進(jìn)制、三進(jìn)制、七進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制等多種數(shù)字進(jìn)制法。在長期實(shí)際生活的應(yīng)用中，十進(jìn)制最終占了上風(fēng)。 　　現(xiàn)在世界通用的數(shù)碼0，人們稱之為阿拉伯?dāng)?shù)字。實(shí)際上它們是古代印度人最早使用的。后來阿拉伯人把古希臘的數(shù)學(xué)融進(jìn)了自己的數(shù)學(xué)中去，又把這一簡(jiǎn)便易寫的十進(jìn)制位值記數(shù)法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯?dāng)?shù)字。 　　數(shù)的概念、數(shù)碼的寫法和十進(jìn)制的形成都是人類長期實(shí)踐活動(dòng)的結(jié)果。 　　隨著生產(chǎn)、生活的需要，人們發(fā)現(xiàn)，僅僅能表示自然數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不行的。如果分配獵獲物時(shí)，5個(gè)人分4件東西，每個(gè)人人該得多少呢？于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了。中國對(duì)分?jǐn)?shù)的研究比歐洲早1400多年！自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和零，通稱為算術(shù)數(shù)。自然數(shù)也稱為正整數(shù)。 　　隨著社會(huì)的發(fā)展，人們又發(fā)現(xiàn)很多數(shù)量具有相反的意義，比如增加和減少、前進(jìn)和后退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產(chǎn)生了負(fù)數(shù)。正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零，統(tǒng)稱為整數(shù)。如果再加上正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，就統(tǒng)稱為有理數(shù)。有了這些數(shù)字表示法，人們計(jì)算起來感到方便多了?！　〉?，在數(shù)字的發(fā)展過程中，一件不愉快的事發(fā)生了。讓我們回到大經(jīng)貿(mào)部2500年前的希臘，那里有一個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，是一個(gè)研究數(shù)學(xué)、科學(xué)和哲學(xué)的團(tuán)體。他們認(rèn)為數(shù)是萬物的本源，支配整個(gè)自然界和人類社會(huì)。因此世間一切事物都可歸結(jié)為數(shù)或數(shù)的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數(shù)是指整數(shù)。分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，使數(shù)不那樣完整了。但分?jǐn)?shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比，所以他們的信仰沒有動(dòng)搖。但是學(xué)派中一個(gè)叫希帕索斯的學(xué)生在研究1與2的比例中項(xiàng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)沒有一個(gè)能用整數(shù)比例寫成的數(shù)