【文章內容簡介】 　虛　數(shù)　不　虛　　在學習開方時，總是要再三強調，被開方數(shù)一定要是非負數(shù)，被開方數(shù)為負數(shù)時，開方?jīng)]有意義，眾所周知，人們對事物的認識總是螺旋式上升的?，F(xiàn)在，我們知道對負數(shù)進行開方可以用來表示一個虛數(shù)。 　　在很久以前，大多數(shù)學家都認為負數(shù)沒有平方根。到1545年，意大利數(shù)學家卡爾丹在所著《重要的藝術》的第37章中列出并解出把10分成兩部分，使其乘積為40的問題，方程是ｘ（10－ｘ）＝40，他求得根為 ，然后說，不管會受到多大的良心責備，把 相乘，得乘積為25－（－15）或即40，卡爾丹在解三次方程時，又一次運用了負數(shù)的平方根?？柕た隙素摂?shù)的平方根的用處，但當時，人們對它的認識也僅止于此。 　　　　實數(shù)、虛數(shù)這兩個詞是由法國數(shù)學家笛卡爾在1637年率先提出來的。而用ｉ＝ 表示虛數(shù)的單位是18世紀著名數(shù)學家歐拉的功績。后來的人在這兩個成果的基礎上，把實數(shù)和虛數(shù)結合起來，記成ａ＋ｂｉ形式，稱為復數(shù)。 　　　　在虛數(shù)剛進入數(shù)的領域時，人們對它的用處一無所知，實際生活中也沒有用復數(shù)來表示的量，因而，最初人們對虛數(shù)產生懷疑和有一種不接受的態(tài)度。萊布尼茲稱虛數(shù)是既存在又不存在的兩棲物。歐拉盡管用它，但也認為虛數(shù)是虛幻的。 　　測量學家維塞爾用ａ＋ｂｉ表示平面上的點。后來，高斯的復平面的概念，使復數(shù)有了真正的立足之地，從此復數(shù)就開始表示向量（有方向的數(shù)量），在水力學、地圖學、航空學中有著日益廣泛的應用。 　數(shù)　的　由　來　和　發(fā)　展 　　你是否看過雜技團演出中小狗做算術這個節(jié)目？臺下觀眾出一道10以內的加法題，比如2+5，由演員寫到黑板上。小狗看到后就會汪汪汪……叫7聲。臺下觀眾會報以熱烈的掌聲，對這只狗中的數(shù)學尖子表示由衷的贊許，并常常驚嘆和懷疑狗怎么會這么聰明？因為在一般人看來狗是不會有數(shù)量概念的。 　　人類是動物進化的產物，最初也完全沒有數(shù)量的概念。但人類發(fā)達的大腦對客觀世界的認識已經(jīng)達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數(shù)的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。結繩記事也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國古書《易經(jīng)》中有結繩而治的記載。傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數(shù)。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數(shù)也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數(shù)的概念和記數(shù)的符號。 　　數(shù)的概念最初不論在哪個地區(qū)都是4……這樣的自然數(shù)開始的，但是記數(shù)的符號卻大小相同?！　」帕_馬的數(shù)字相當進步，現(xiàn)在許多老式掛鐘上還常常使用。　　實際上，羅馬數(shù)字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數(shù)字都是不變的。它們按照下列規(guī)律組合起來，就能表示任何數(shù)： 　　1．重復次數(shù)：一個羅馬數(shù)字符號重復幾次，就表示這個數(shù)的幾倍。如：III表示3；XXX表示30。 　　2．右加左減：一個代表大數(shù)字的符號右邊附一個代表小數(shù)字的符號，就表示大數(shù)字加小數(shù)字，如VI表示6，DC表示600。一個代表大數(shù)字的符號左邊附一個代表小數(shù)字的符號，就表示大數(shù)字減去小數(shù)字的數(shù)目，如IV表示4，XL表示40，VD表示495。 　　3．上加橫線：在羅馬數(shù)字上加一橫線，表示這個數(shù)字的一千倍。如： 表示 15,000， 表示165,000。 　　我國古代也很重視記數(shù)符號，最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數(shù)的符號，不過難寫難認，后人沒有沿用。到春秋戰(zhàn)國時期，生產迅速發(fā)展，適應這一需要，我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計算方法籌算?；I算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的。按規(guī)定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數(shù)和進行運算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數(shù)的符號了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數(shù)字。　　從算籌數(shù)碼中沒有10這個數(shù)可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴格遵循十位進制。9位以上的數(shù)就要進一位。同一個數(shù)字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計算法在當時是很先進的。因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末。但籌算數(shù)碼中開始沒有零，遇到零就空位。比如6708，就可以表示為┴ ╥ 。數(shù)字中沒有零，是很容易發(fā)生錯誤的。所以后來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與零的出現(xiàn)有關。不過多數(shù)人認為，0這一數(shù)學符號的發(fā)明應歸功于公元6世紀的印度人。他們最早用黑點（）表示零，后來逐漸變成了0。 　　說起0的出現(xiàn)，應該指出，我國古代文字中，零字出現(xiàn)很早。不過那時它不表示空無所有，而只表示零碎、不多的意思。如零頭、零星、零丁。一百零五的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿拉數(shù)字的引進。105恰恰讀作一百零五，零字與0恰好對應，零也就具有了0的含義。 　　如果你細心觀察的話，會發(fā)現(xiàn)羅馬數(shù)字中沒有0。其實在公元5世紀時，0已經(jīng)傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用0。有一位羅馬學者在筆記中記載了關于使用0的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。 　　但0的出現(xiàn)，誰也阻擋不住?，F(xiàn)在，0已經(jīng)成為含義最豐富的數(shù)字符號。0可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫 ，并不是說沒有氣溫；0是正負數(shù)之間唯一的中性數(shù)；任何數(shù)（0除外）的0次冪等于1；0！=1（零的階乘等于1）?！　〕耸M制以外，在數(shù)學萌芽的早期，還出現(xiàn)過五進制、二進制、三進制、七進制、八進制、十進制、十六進制、二十進制、六十進制等多種數(shù)字進制法。在長期實際生活的應用中，十進制最終占了上風。 　　現(xiàn)在世界通用的數(shù)碼0，人們稱之為阿拉伯數(shù)字。實際上它們是古代印度人最早使用的。后來阿拉伯人把古希臘的數(shù)學融進了自己的數(shù)學中去，又把這一簡便易寫的十進制位值記數(shù)法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯數(shù)字。 　　數(shù)的概念、數(shù)碼的寫法和十進制的形成都是人類長期實踐活動的結果。 　　隨著生產、生活的需要，人們發(fā)現(xiàn)，僅僅能表示自然數(shù)是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？于是分數(shù)就產生了。中國對分數(shù)的研究比歐洲早1400多年！自然數(shù)、分數(shù)和零，通稱為算術數(shù)。自然數(shù)也稱為正整數(shù)。 　　隨著社會的發(fā)展，人們又發(fā)現(xiàn)很多數(shù)量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和后退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產生了負數(shù)。正整數(shù)、負整數(shù)和零，統(tǒng)稱為整數(shù)。如果再加上正分數(shù)和負分數(shù)，就統(tǒng)稱為有理數(shù)。有了這些數(shù)字表示法，人們計算起來感到方便多了。　　但是，在數(shù)字的發(fā)展過程中，一件不愉快的事發(fā)生了。讓我們回到大經(jīng)貿部2500年前的希臘，那里有一個畢達哥拉斯學派，是一個研究數(shù)學、科學和哲學的團體。他們認為數(shù)是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會。因此世間一切事物都可歸結為數(shù)或數(shù)的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數(shù)是指整數(shù)。分數(shù)的出現(xiàn)，使數(shù)不那樣完整了。但分數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比，所以他們的信仰沒有動搖。但是學派中一個叫希帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時，發(fā)現(xiàn)沒有一個能用整數(shù)比例寫成的數(shù)