函數(shù)的性質二(編輯修改稿)
2024-12-12 20:12 本頁面
【文章內容簡介】 － 1，可得 f⑴ ＝ 1 令 x＝ y＝ 1得 f⑵ ＝ 2f⑴ ＋ 1＋ 1＝ 4 令 y＝ 1，得 f(x＋ 1)＝ f(x)＋ x＋ 2 即 f(x＋ 1)－ f(x)＝ x＋ 2 ① 當 x取任意正整數(shù)時， f(x＋ 1)－ f(x)＞ 0 又 f⑴ ＝ 1＞ 0所以 f(x)＞ 0 于是 f(x＋ 1)＝ f(x)＋ x＋ 2＞ x＋ 1 即對任意大于 1的正整數(shù) t， f(t)＞ t 在①中，令 x＝－ 3，得 f(－ 3)＝－ 1， 進一步可得 f(－ 4)＝ 1 注意到 f(x)－ f(x＋ 1)＝－ (x＋ 2) 所以當 x≤ － 4時， f(x)－ f(x＋ 1)＞ 0 即 f(x)＞ f(x＋ 1)＞ f(x＋ 2)＞ …… ＞ f(－ 4)＝ 1 所以 x≤ － 4時， f(x)＞ x 綜上所述，滿足 f(a)＝ a的整數(shù)只有 a＝ 1或 a＝－ 2 例 f(x)是一個從實數(shù)集 R到 R的一個映射 ,對于任意的實數(shù) x,都有 |f(x)|≤1, 并且 f(x)+ 求證 :f(x)是周期函數(shù) . 證明：由已知 f(x)+ 所以 )421x(f)4243x(f)427x(f)4249x(f ??????? ① (2) 于是 f(x＋ 1)－ f(x)＝ f(x＋ 2)－ f(x＋ 1)， 記這個差為 d 同理 f(x＋ 3)－ f(x＋ 2)＝ f(x＋ 2)－ f(x＋ 1)＝ d …… f(x＋ n＋ 1)－ f(x＋ n)＝ f(x＋ n)－ f(x＋ n－ 1) ＝ …… ＝ f(x＋ 1)－ f(x)＝ d 即是說數(shù)列 {f(x＋ n)}是一個以 f(x)為首項， d為公差的等差數(shù)列 因此 f(x＋ n)＝ f(x)＋ nd＝ f(x)＋ n[f(x＋ 1)－ f(x)]對所有的自然數(shù) n成立，而對于 x∈R ， |f(x)|≤1 ，即 f(x)有界，故只有 f(x＋ 1)－ f(x)＝ 0 即 f(x＋ 1)＝ f(x) x∈R 所以 f(x)是周期為 1的周期函數(shù) . 例 14 設 f (x)的定義域為 R， 其圖像關于直線 x＝ 2 和 x＝ 0對稱 ， 且 x?[4， 6]時 ， f ( x )＝ 2 x + 1， 那么在區(qū)間 [－ 2， 0]上 ， f － 1( x )的解析式為 （ A） y＝ log2(x－ 4) （ B） y＝ 4－ log2(x－ 1) （ C） y＝ 4+log2(x－ 1) （ D） y＝－ log2(x－ 1) 【 分析 】 如何用好 x＝ 2， x＝ 0是圖像對稱軸這個條件 ， 并把兩者綜合而得新的性質 ？ 這就要想到： y＝ f (x)圖像關于 x＝ a對稱 ? x?R時有 f (x)＝ f (2a－ x) 【 解 】 ∵ y＝ f (x)的圖像關于 x＝ 0 對稱 ， ∴ f ( x )＝ f (－ x)， ∵ y＝ f (x)的圖像關于 x＝ 2對稱 ， ∴ f (－ x)＝ f (4+x)． 于是有 f ( x )＝ f (4+x) ∴ f ( x )是周期為 4的函數(shù) ， 當－ 2≤x≤0時 ， 0≤－ x≤2且－ x + 4∈ [4， 6] ∵ y＝ f (x)的圖像關于 x＝ 0對稱 ， ∴ f (x)＝ f (－ x)． ∵ 周期為 4， ∴ f (－ x)＝ f (－ x+4)＝ 2－ x+4 +1 即在 [－ 2， 0]上 ， y＝ f (x)＝ 2－ x+4 +1 ∴ 2－ x+4＝ y－ 1 － x+4＝ log2(y－ 1) x＝ 4－ log2(y－ 1) ∴ [－ 2， 0] 上 ， f (x)＝ 4－ log2(x－ 1) 應選 （ B） ． {an}中， a1＝ a， a2＝ b，且 an＋ 2＝ an＋ 1－ an(n∈ N＋ ) ① 求 a100；②求 S100. 解：由已知 a1＝ a， a2＝ b，所以 a3＝ b－ a， a4＝－ a， a5＝－ b， a6＝ a－ b， a7＝ a， a8＝ b， …… 由此可知， {an}是以 6為周期的周期數(shù)列， 于是 a100＝ a6 16＋ 4＝ a4＝－ a 又注意到 a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＋ a6＝ 0 S100＝ a1＋ a2＋ a3＋ …… ＋ a96＋ a97＋ a98＋ a99＋ a100 ＝ 0＋ a97＋ a98＋ a99＋ a100 ＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4 ＝ a＋ b＋ (b－ a)＋ (－ a) ＝ 2b－ a f(x)的定義域為 N，且對任意正整數(shù) x，
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