【文章內(nèi)容簡介】 流耗散率方程等輸運方程。湍流會影響到其它的物理現(xiàn)象如浮力和可壓縮性。湍流模型提供了很大的應(yīng)用范圍，而不需要對特定的應(yīng)用做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)，而且它涵括了其它物理現(xiàn)象的影響，如浮力和可壓縮性。通過使用擴(kuò)展壁面函數(shù)和區(qū)域模型，它可以對近壁面的精度問題有很好的考慮。無論是理想流體還是層流情況，基本方程中的未知數(shù)和方程數(shù)總是相等的，因此是封閉的，湍流則不然。連續(xù)性方程和應(yīng)用雷諾方程中除了三個速度分量和壓力以外，又增加了六個未知數(shù)，即雷諾應(yīng)力項，從而四個方程中有10個未知數(shù)，形成湍流基本方程的不封閉問題。因此要應(yīng)用這些方程首先必須解決封閉性問題（closure problem）。根據(jù)湍流的運動規(guī)律以尋求附加的條件和關(guān)系式從而使方程封閉可解，就是近年來所形成的各種湍流模型[12~14]。所謂湍流半經(jīng)驗理論是利用部分已經(jīng)得到實驗證明的一些假設(shè)去建立雷諾應(yīng)力與流場中的時均量之間的關(guān)系，以解決湍流基本方程的封閉性問題。自20年代以來，解決湍流問題的途徑主要是沿著半經(jīng)驗理論的方法發(fā)展的，它在湍流的計算中還被廣泛應(yīng)用。這種以半經(jīng)驗關(guān)系式使湍流方程組封閉的理論，稱之為模型理論，而各種半經(jīng)驗的方法稱為湍流模型。不幸的是沒有一個湍流模型對于所有的問題是通用的。選擇模型時主要依靠以下幾點：流體是否可壓、建立特殊的可行的問題、精度的要求、計算機(jī)的能力、時間的限制等。為了選擇最好的模型，需要了解不同條件的適用范圍和限制。 湍流模型理論簡史1877年，Boussinesq仿照分子擴(kuò)散過程提出湍流應(yīng)力的數(shù)學(xué)描述，進(jìn)而得出渦粘度概念。1895年，雷諾提出雷諾平均概念，即將流場變量看作一個時均量與脈動量之和的形式。1904年，普朗特提出邊界層概念。1925年，普朗特提出混合長理論，用混合長概念求解渦粘度。這項工作成為湍流模型理論的基石。1942年，Kolmogorov提出kω模型，其中k為湍流動能，ω為湍流耗散率，二者用相似的微分方程描述，被稱為二方程模型。不過在隨后的近30年中，由于當(dāng)時計算機(jī)還無法求解上述非線性微分方程，這個模型一直沒有得到實際應(yīng)用。1945年，普朗特提出一個模型。在這個模型中，渦粘度是湍動能k的函數(shù)，并進(jìn)而提出描述k的微分方程。從基本概念的層次上看，普朗特這個模型首次提出湍流變量取決于流動歷史這個重要概念，并由此建立了一方程模型（混合長模型為零方程模型或叫代數(shù)模型）。因為需要事先給出湍流長度尺度，零方程模型被認(rèn)為是不完備的模型。1951年，Rotta放棄了Boussinesq假設(shè)，提出二階矩封閉模型。二階矩封閉模型與Boussinesq假設(shè)模型相比，其優(yōu)點在于可以在計算中考慮流線曲率、剛體旋轉(zhuǎn)、體積力等影響。這種模型用一個方程描述湍流長度尺度，用六個方程描述雷諾應(yīng)力張量的分量，因此也在很長時間內(nèi)，由于計算機(jī)的限制沒有得到實際應(yīng)用。至此，湍流模型中的4種基本類型（代數(shù)模型、一方程模型、二方程模型、二階矩封閉模型）全部出現(xiàn)。1950年代后各種模型的發(fā)展如下：代數(shù)模型1956年，Van Driest針對混合長模型提出一個目前被廣泛使用的粘性耗散項。1974年，Cebeci和Smith證明混合長模型可以用大部分附著流計算。1978年，Baldwin和Lomax提出一種可以應(yīng)用于更多種流動類型的新的混合長模型。一方程模型1967年，Bradshaw、Ferriss和Atwell提出的一方程模型。在1968年斯坦福湍流邊界層計算大會上被證明是此類計算中與試驗結(jié)果最接近的模型。因為一方程模型的計算量較小，其后Baldwin和Barth（1990）、Goldberg（1991）和Spalart和Allmaras（1992）均提出新的一方程模型。其中Spalart和Allmaras提出的SA模型被多數(shù)商用軟件所采用。二方程模型在Kolmogorov之后，直到計算機(jī)出現(xiàn)后，二方程模型才重新得到重視。其中最引人注目的模型是Launder和Spalding于1972年提出的kε模型。雖然Rodi等人1986年證明這個模型在帶逆壓梯度流動中存在明顯誤差，但是這個模型仍然象混合長模型一樣成為最著名的湍流模型。1970年時，在不知道Kolmogorov的前期工作的情況下，Saffman提出kω模型，這個模型因可以模擬逆壓梯度問題而成為名聲僅次于kε模型的二方程模型。二階封閉模型二階封閉模型在計算機(jī)出現(xiàn)后也獲得了一些發(fā)展，不過因為需要求解的方程數(shù)目太多，至今還沒有得到更多的應(yīng)用[15]。從1877年開始至今的時間里，所提出的主要三維湍流數(shù)值模擬方法及相應(yīng)的湍流模型可用圖31[11]簡要表示。p117圖31 三維湍流數(shù)值模擬方法及相應(yīng)的湍流模型 幾種典型的湍流數(shù)值模擬方法及湍流模型簡介在工程湍流問題中得到廣泛應(yīng)用的模型是渦粘模型。這是由Boussinesq仿照分子粘性的思路提出的，即設(shè)Reynolds應(yīng)力為， （39）這里是湍動能，稱為渦粘性系數(shù)，這是最早提出的基準(zhǔn)渦粘性模型，即假設(shè)雷諾應(yīng)力與平均速度應(yīng)變率成線性關(guān)系，當(dāng)平均速度應(yīng)變率確定后，六個雷諾應(yīng)力只需要通過確定一個渦粘性系數(shù)就可完全確定，且渦粘性系數(shù)各向同性，可以通過附加的湍流量來模化，比如湍動能k，耗散率，比耗散率w以及其它湍流量，，根據(jù)引入的湍流量的不同，可以得到不同的渦粘性模型，比如常見的，kw模型，以及后來不斷得到發(fā)展的，qw，kl等模型，渦粘性系數(shù)可以分別表示為：，， (310)為了使控制方程封閉，引入多少個附加的湍流量，就要同時求解多少個附加的微分方程，根據(jù)求解的附加的微分方程的數(shù)目，一般可將渦粘性模型劃分為三類：零方程模型、半方程模型、一方程模型、二方程模型。幾種典型的湍流數(shù)值模擬方法有：直接數(shù)值模擬方法（DNS方法）所謂直接數(shù)值模擬方法是指直接求解湍流運動的NS方程，得到湍流的瞬時流場，即各種尺度的隨機(jī)運動，可以獲得湍流的全部信息。隨著現(xiàn)代計算機(jī)的發(fā)展和先進(jìn)的數(shù)值方法的研究，DNS方法已經(jīng)成為解決湍流的一種實際的方法。但由于計算機(jī)條件的約束，目前只能限于一些低雷諾數(shù)的簡單流動，不能用于工程應(yīng)用。目前國際上正在做的湍流直接數(shù)值模擬還只限于較低的雷諾數(shù)（Re≈200）和非常簡單的流動外形，如平板邊界層、完全發(fā)展的槽道流以及后臺階流動等。用直接數(shù)值模擬方法處理工程中的復(fù)雜流動問題，即使是當(dāng)前最先進(jìn)的計算機(jī)也還差三個量級。大渦模擬方法（LES方法）這是一種折中的方法，即對湍流脈動部分地直接模擬，將NS方程在一個小空間域內(nèi)進(jìn)行平均（或稱之為濾波），以使從流場中去掉小尺度渦，導(dǎo)出大渦所滿足的方程。小渦對大渦的影響會出現(xiàn)在大渦方程中，再通過建立模型（亞格子尺度模型）來模擬小渦的影響。由于湍流的大渦結(jié)構(gòu)強烈地依賴于流場的邊界形狀和邊界條件，難以找出普遍的湍流模型來描述具有不同的邊界特征的大渦結(jié)構(gòu)，宜做直接模擬。相反地，小尺度渦對邊界條件不存在直接依賴關(guān)系，而且一般具有各向同性性質(zhì)。所以亞格子模型具有更大的普適性，比較容易構(gòu)造，這是它比雷諾平均方法要優(yōu)越的地方。自從1970年Deardorff第一次給出具有工程意義的LES計算以來，LES方法已經(jīng)成為計算湍流的最強有力的工具之一，應(yīng)用的方向也在逐步擴(kuò)展，但是仍然受計算機(jī)條件等的限制，使之成為解決大量工程問題的成熟方法仍有很長的路要走。ke模型1974年，Spalding和Launder歸納了不同學(xué)者提出的反映湍流尺度的參數(shù)k，直接用渦粘性假設(shè)將雷諾應(yīng)力與時間聯(lián)系起來，并通過微分方程建立了雙方程ke模型來求解湍動能k和耗散能e的輸運方程，這樣，就組成了ke二方程模型。最簡單的完整湍流模型是二方程的模型，要解兩個變量：速度和湍流長度尺度（turbulent length scale）。在CFX中，標(biāo)準(zhǔn)ke模型自從被Launder 和 Spalding提出之后，就變成工程流場計算中主要的工具了。它適用范圍廣、經(jīng)濟(jì)、有合理的精度，這就是為什么它在工業(yè)流場和熱交換模擬中有如此廣泛的應(yīng)用了。它是個半經(jīng)驗的公式，是從實驗現(xiàn)象中總結(jié)出來的。ke模型是最為人所知和應(yīng)用最廣泛的二方程渦粘性模型，為積分到壁面的不可壓縮/可壓縮湍流的二方程渦粘性模型。ke模型最初的發(fā)展是為了改善混合長（mixinglength）模型和避免復(fù)雜流動中湍流長度尺度的代數(shù)表示（algebraic prescription）。它求解兩個湍流標(biāo)量k和e的輸運方程。k方程表示湍動能輸運方程，e方程表示湍動能的耗散率。如果針對ke模型，k越大表明湍流脈動長度和時間尺度越大，e越大意味著湍流脈動長度和時間尺度越小，它們兩個量共同制約著湍流脈動。該模型對較小壓力梯度（relatively small pressure gradients）下的自由剪切流（freeshearlayer flows）具有較好的結(jié)果。對于壁面流動（wall bounded flows），在零或者小平均壓力梯度下，模型結(jié)果和實驗結(jié)果符合得較為一致，但是對大的逆壓梯度（adverse pressure gradients），其結(jié)果就不太正確了。另外，在壁面附近，該模型需要壁面衰減函數(shù)（walldamping functions）和較好的網(wǎng)格分布。由于人們已經(jīng)知道了ke模型適用的范圍，因此人們對它加以改造，出現(xiàn)了RNG ke模型和帶旋流修正ke模型。標(biāo)準(zhǔn)kw模型標(biāo)準(zhǔn)kw模型是基于Wilcox kw模型，它是為考慮低雷諾數(shù)、可壓縮性和剪切流傳播而修改的。Wilcox kw模型預(yù)測了自由剪切流傳播速率，像尾流、混合流動、平板繞流、圓柱繞流和放射狀噴射，因而可以應(yīng)用于墻壁束縛流動和自由剪切流動。它是最為人所知和應(yīng)用最廣泛的二方程渦粘性模型，為積分到壁面的不可壓縮/可壓縮湍流的二方程渦粘性模型，用于求解湍動能k和它的w的對流輸運方程，最主要文獻(xiàn)來自Wilcox對kw模型的著作。求解湍動能k是湍動能和它的 （specific dissipation rate）的對流輸運方程。已經(jīng)證明Wilcox kw模型在粘性子層比ke具有更好的數(shù)值穩(wěn)定性。由于壁面附近，w值較大，模型不像ke模型或者其它二方程模型，它不需要顯式的壁面衰減函數(shù)。對于比較緩的逆壓梯度流動，該模型在對數(shù)區(qū)域給出的結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)較為符合。（1）模型方程雷諾應(yīng)力的渦粘性模型為： （311）這里為渦粘性(eddy viscosity)，為平均速度應(yīng)變率張量(meanvelocity strainrate tensor), r為流體密度, k為湍動能, 為克羅內(nèi)克算子(Kronecker delta)。渦粘性定義為湍動能k和比耗散率w的函數(shù) （312）k和w的輸運方程為 （313） （314）（2）模型常數(shù)和參數(shù)模型中各常數(shù)的定義為 ，。（3）邊界條件對邊界層流動，壁面無滑移邊界條件為和 （315）這里y1為離開壁面第一個點的距離，且y1+1。對稱邊界條件采用零梯度條件，各種附加的邊界條件將在具體流動中討論。剪切壓力傳輸（SST） kw模型kw SST（shearstresstransport）剪切應(yīng)力輸運模型是在近壁處采用Wilcox kw模型，在邊界層邊緣(（boundary layer edges）和自由剪切層(（freeshear layers）采用ke模型( （kw形式)），其間通過一個混合函數(shù)（(blending function）)來過渡，屬于積分到壁面的不可壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模型。為了有效結(jié)合kw和ke模型，統(tǒng)一寫成kw形式。（1）模型方程渦粘性定義為： （316）這里是渦量的絕對值，a1=，F(xiàn)2是混合函數(shù)： （317）vT的形式解決了湍流剪切應(yīng)力在逆壓梯度邊界層的輸運。k和w由相應(yīng)的湍動能輸運方程和湍流比耗散率方程得到。湍動能輸運方程： （318）湍流比耗散率方程： （319）上式中最后一項代表交錯擴(kuò)散項（crossdiffusion term），生成項 （320）（2）模型常數(shù)和參數(shù) （321）這里， （322）代表kw模型中的交叉擴(kuò)散（crossdiffusion）。SST模型常數(shù)：a1=；β*=； k=。模型參數(shù)由來表示，用分別表示原始kw模型系數(shù)和轉(zhuǎn)化的ke模型系數(shù) （323）這里 。Inner model 系數(shù)： （324） （325）Outer model 系數(shù)： （326） （327） 受壁面限制的湍流流動的近壁面處的處理方法湍流流動受壁面的影響很大。很明顯，平均流動區(qū)域?qū)⒂捎诒诿娌还饣艿接绊?。?dāng)然，湍流還受到壁面其他的一些影響。在離壁面很近的地方，粘性力將抑制流體切線方向速度的變化，而且流體運動受壁面阻礙從而抑制了正常的波動。但近壁面的外部區(qū)域，湍流動能受平均流速的影響而增大，湍流運動加劇。kε模型、RSM模型、LES模型都僅適用于湍流核心區(qū)域（一般都遠(yuǎn)離壁面），應(yīng)該考慮怎樣使這些模型適用于壁面邊界層處的流動。如果近壁面的網(wǎng)格劃分足夠好，SpalartAllmaras和kw模型可以用來解決邊界層的流動。無數(shù)試驗表明，近壁面區(qū)域可以分成三層區(qū)域。在最里層，又叫粘性底層，流動區(qū)域很薄，在這個區(qū)域里，粘性力在動量，熱量及質(zhì)量交換中都起主導(dǎo)作用，湍流切應(yīng)力可以忽略，所以流動幾乎是層流流動，平行于壁