微積分下冊主要知識點(編輯修改稿)
2025-07-17 05:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 內(nèi)有定義, 當y 固定在而x在處有增量時, 相應地函數(shù)有增量 如果存在, 則稱此極限為函數(shù)在點處對x的偏導數(shù), 記為例如，有.類似地，函數(shù)在點處對y的偏導數(shù)為,記為 上述定義表明，在求多元函數(shù)對某個自變量的偏導數(shù)時, 只需把其余自變量看作常數(shù)，然后直接利用一元函數(shù)的求導公式及復合函數(shù)求導法則來計算之. 二、關于多元函數(shù)的偏導數(shù)，補充以下幾點說明：（1）對一元函數(shù)而言，導數(shù)可看作函數(shù)的微分與自變量的微分的商. 但偏導數(shù)的記號是一個整體. （2）與一元函數(shù)類似，對于分段函數(shù)在分段點的偏導數(shù)要利用偏導數(shù)的定義來求.（3）在一元函數(shù)微分學中，我們知道，如果函數(shù)在某點存在導數(shù)，則它在該點必定連續(xù). 但對多元函數(shù)而言，即使函數(shù)的各個偏導數(shù)存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù). 例如，二元函數(shù)在點的偏導數(shù)為但從上節(jié)例5已經(jīng)知道這函數(shù)在點處不連續(xù).三、偏導數(shù)的幾何意義設曲面的方程為，是該曲面上一點，過點作平面，截此曲面得一條曲線，其方程為則偏導數(shù)表示上述曲線在點處的切線對軸正向的斜率（圖631）. 同理，偏導數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對y軸正向的斜率. 四、偏導數(shù)的經(jīng)濟意義設某產(chǎn)品的需求量 其中p為該產(chǎn)品的價格, y為消費者收入.記需求量Q對于價格p、消費者收入y的偏改變量分別為和 易見，表示Q對價格p由p變到的平均變化率. 而表示當價格為p、消費者收入為y時, Q對于p的變化率. 稱 為需求Q對價格p的偏彈性.同理，表示Q對收入y由y變到的平均變化率. 而 表示當價格p、消費者收入為y時, Q對于y的變化率. 稱 為需求Q對收入y的偏彈性. 五、科布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) 在商業(yè)與經(jīng)濟中經(jīng)?？紤]的一個生產(chǎn)模型是科布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) ，其中是由個人力單位和個資本單位生產(chǎn)處的產(chǎn)品數(shù)量（資本是機器、場地、生產(chǎn)工具和其它用品的成本）。偏導數(shù) 分別稱為人力的邊際生產(chǎn)力和資本的邊際生產(chǎn)力。六、高階偏導數(shù)設函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有偏導數(shù) 則在內(nèi)和都是、的函數(shù). 如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導數(shù). 按照對變量求導次序的不同，共有下列四個二階偏導數(shù)：其中第二、第三兩個偏導稱為混合偏導數(shù). 類似地，可以定義三階、四階、階偏導數(shù). 我們把二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).定理1 如果函數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù), 則在該區(qū)域內(nèi)有.一、微分的定義定義1 如果函數(shù)在點的全增量可以表示為 ()其中A,B不依賴于而僅與x, y有關,則稱函數(shù)在點可微分, 稱為函數(shù)在點的全微分, 記為 即. ()若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處可微分，則稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.二、函數(shù)可微的條件定理1 (必要條件) 如果函數(shù)在點處可微分, 則該函數(shù)在點的偏導數(shù)必存在, 且在點處的全微分. ()我們知道，一元函數(shù)在某點可導是在該點可微的充分必要條件. 但對于多元函數(shù)則不然. 定理1 的結論表明，二元函數(shù)的各偏導數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件. 由此可見，對于多元函數(shù)而言，而全微分描述了函數(shù)沿各個方向的變化情況. 但如果對偏導數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性. 一般地，我們有：定理2 (充分條件) 如果函數(shù)的偏導數(shù)在點連續(xù), 則函數(shù)在該點處可微分. 三、微分的計算習慣上，常將自變量的增量、分別記為、并分別稱為自變量的微分. 這樣，函數(shù)的全微分就表為 ()
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