【文章內容簡介】 代入上式得 ()用Ψmn乘此式兩邊，并對空腔區(qū)域積分，得 ()式中 () () ()式中已代入ω μ0=k0 η0, η0 = √(μ0 / ε0)=120π，k0 = 2π / λ0。 kmn是諧振模的截止波長，為實數，由天線尺寸的模的序號m, n決定。當工作頻率選得使k很近于kmn時，分母上得k2 k2mn很小而使第(m, n)項振幅變得很大，內場基本上就由這個項決定。這時我們就說該天線對TMmn模諧振。其次，該式也表明，對于任一Ψmn分布，不同的Jz位置（激勵條件）將導致不同得激勵振幅（展開系數），從而將得出不同得內場。對規(guī)則形狀的貼片，一般可利用分離變量法解出Ψmn及相應得kmn，對于矩形貼片： () ()，它可表示接地板流向貼片的z向電流和接地板上同軸開口處的小磁流環(huán)。后者很小，可以忽略；前者可等效為中心在(x0, y0), x方向寬為d0的電流片。設總電流為I0,即有： ()，得 ()式中j0(x)=sin x / x ()這里δ0m和δ0n是聶曼數：為表達簡潔起見，取Cmn=1，最后得： ()（取k0√εr = kmn）： ()用εe代替εr，能獲得更接近于實測結果得諧振頻率值，即 ()求得微帶貼片的內場后，可應用等效性原理來得到外空間的場。等效磁流為： ()這些等效磁流源在遠區(qū)產生的電矢量位為 ()這里已經計入接地板所引起的Ms正鏡像效應，并考慮到hλ0，故沿z方向積分結果只是乘以2h。所引起的電場為，對于遠區(qū)場，只保留含R1項 ()利用球坐標與直角坐標單位矢量之間的轉換關系，有 ()饋源處的激勵電壓V0除以電流I0便得到天線的輸入阻抗Zin。對于同軸線饋電的矩形貼片天線，饋源模型取在x方向寬為d0的電流片，則該寬度上的電壓平均值為 () ()其中 ()空腔模型對微帶天線的工作特性有著深入的物理解釋，空腔模型不但用于矩形貼片，也可以應用到其它規(guī)則形狀的貼片，如圓形、三角形等形狀的貼片。根據空腔模型理論可以對貼片天線進行定性的分析，并判斷數值計算結果的合理性。基于有限元法計算電磁問題，其基本構想是把整個求解區(qū)域劃分為若干個小區(qū)域，在每個小區(qū)域內規(guī)定一個基函數。這些基函數在各自的單元內解析，在其他區(qū)域內為零，這樣就可以用分片解析函數代替全域解析函數。本文所用的仿真軟件Ansoft HFSS是基于有限元法的原理來編制的。下面簡要介紹有限元法的基本原理。 建模步驟有限元方法的建模過程可以分為以下幾個步驟：（1）區(qū)域離散。在任何有限元分析中，區(qū)域離散是第一步，或許也是最重要的一步，因為區(qū)域離散的方式將影響計算機內存的需求、計算時間和數值結果的精確度。對于一維問題可以選取短直線段為單元，二維可以選擇矩形或者三角形，三維問題可以選擇四面體、三棱柱或矩形塊。Ansoft HFSS選用的四面體作為基本單元。（2）插值函數的選擇。在每一個離散單元的結點上的值是要求的未知量，在其內部的其它點上的值是依靠結點值對其進行插值。Ansoft HFSS軟件中有兩種插值方式可供選擇。（3）方程組的建立。對Maxwell方程利用變分方法建立誤差泛函，由于問題已經離散化為很多個子域的組合，可以首先在每個單元內建立泛函對應的小的線性表達式，其次，將其填充到全域矩陣中的相應位置，最后應用邊界條件來得到矩陣方程的最終形式。（4）方程組的求解。方程組的求解是有限元分析的最后一步。最終的方程組是下列兩種形式之一： ()或者 ()，它是從非齊次微分方程或非齊次邊界條件或從它們兩者兼有的問題中導出的。在電磁學中，確定性方程組通常與散射、輻射以及其它存在源或激勵的確定性問題有關。，它是從齊次微分方程和齊次邊界條件導出的。在電磁學中，本征值方程組通常與諸如波導中波傳輸和腔體中的諧振等無源問題有關。在這種情形下，已知向量為零，矩陣可以寫成的形式，這里表示未知的本征值。 基本原理1．三維支配方程廣義的來說，三維麥克斯維方程組是三維電磁場問題的三維支配方程，在一般情況下為了方便求解和建模，大多選取由麥克思韋方程組的前兩個旋度方程導出的電場強度滿足的矢量亥姆赫茲方程作為支配方程。比如，Ansoft HFSS軟件的支配方程為： ()式中：是時諧場對應的相量。 是自由空間波數，是復的相對導磁率，是復的相對介電常數（考慮了介質的損耗）。2．三維變分公式根據變分原理，上式的泛函可以寫為： ()特別要指出的是，這只是無源區(qū)的域內支配方程對應的泛函，還沒有強加邊界條件和源項。3．三維離散單元有限元方法的一個關鍵步驟是建立離散單元的小矩陣，只要得到了離散單元的小矩陣，然后將其填充到全域矩陣中。對于三維問題，矩形塊、四面體和六面體等都可以被選用做基本的離散單元，但是，不同離散單元對于有限元運算的精度、速度和內存需求都有不同。Ansoft HFSS采用四面體作為基本離散單元，并選用被應用于電磁學中的棱邊元作為矢量基函數。下面首先介紹按照結點值定義的四面體單元，然后介紹Ansoft HFSS選用的三維棱邊元。： () 四面體單元 tetrahedron cell如果用四面體的四個頂點（即四個結點）處的值（i=1,…,4）來表示，可以得到： ()式中插值函數為 () （單元四面體體積） ()而有下列等式獲得： () () () ()這就是傳統的有限元四面體單元的線性系統。 4 三維棱邊元上一世紀80年代以后，棱邊元單元的出現解決了有限元方法的缺點。Ansoft HFSS正是采用了棱邊元（也稱為矢量有限元）的方法，下面對其進行介紹。考察矢量函數： ()首先，容易看出， ()其次，假設表示從結點1指向結點2的單位矢量。因為是從結點1處的1變化到結點2處的0的線性函數，是從結點2處的1變化為結點1處的線性函數，所以， ， 其中，表示連接結點1和2的棱邊長。因此 ()它表示沿棱邊（1，2）有一個常切向分量，沿其它5個棱邊沒有切向分量。如果定義該棱邊為1，則可以定義其矢量基函數為： ()類似可得到棱邊i的矢量基函數為： ()。 四面體單元的棱邊定義 Definition of tetrahedron cell’s edge棱邊結點結點112213314423542634在以上定義的基礎上，： ()其中，（i＝1，…，6）就是單元內的未知量。這就是Ansoft HFSS中使用的棱邊元（對應其0th order basis function）?？梢钥吹剑@類矢量基函數在單元內自然滿足散度為零，旋度不為零（），其定義也正好是沿切向定義的，棱邊元也避免了結點值，所以它能夠去除結點值四面體的三個缺點。四面體單元在模擬任意形狀的幾何體時，特別是不規(guī)則的幾何物體時，比矩形塊、六面體等單元更加靈活和準確。雖然對于同樣離散數，矩形塊和六面體比四面體的未知數要少，但是，有趣的是，對于幾乎同樣的未知量數目，采用四面體的有限元數值解比采用矩形塊和六面體的有限元數值解精度要高。應該說，四面體單元特別是四面體棱邊元在解決三維問題時是較好的選擇。 有限元方程組的求解 Ansoft hfss的自適應迭代算法 Adaptive iteration algorithm of Ansoft hfss從上面的討論可以看出，矩陣方程的求解復雜度與有限元的剖分密度即未知數數目有很大的關系，未知數數目越多，求解所需的時間越長。然而，從另外一個方面來說，有限元方法求解的精度與也隨著未知數數目的增加而更加準確。因此，有限元方法的求解時間與準確度是一對矛盾。為了在越短的時間內取得越大的精度， Ansoft HFSS采取了自適應迭代算法。該算法一開始先選用較粗的剖分，采用上面所談的方法求解，然后看其進度是否滿足要求。如不滿足，進一步細化剖分，再次進行求解，直到達到給定的精度。第3章 微帶天線的小型化、寬頻帶技術由于個人通信系統的發(fā)展，各種通信終端天線的需求持續(xù)增加。手機、藍牙、無線局域網等終端對天線的小型化和緊湊型有很高的要求，在這些應用中，小尺寸的天線是十分必要的。天線的小型化是指在固定的工作頻率上減小微帶天線的尺寸。隨著移動通信的迅速發(fā)展，針對不同的小型天線（如線天線、平面倒F天線、介質振蕩器天線、縫隙天線、螺旋天線以及印刷微帶天線等）有不同的小型化方法。下面簡要介紹一下微帶貼片天線小型化的具體方法。一般來說，微帶天線是半波長結構，工作在基本諧振?；?。以矩形微帶天線為例，對于采用薄基片（）的矩形微帶天線，其諧振頻率可由下式近似的出： （） 采用不同介電常數基板的GPS天線尺寸對比 Comparison of GPS antenna with different substrate式中：是真空中的光速；是矩形貼片的長度；是基片材料的相對介電常數。，天線諧振頻率與成反比，因此對于一個固定的工作頻率，采用高介電常數（如陶瓷材料）或高磁導率（如磁性材料）的基片可以有效的降低天線的尺寸。，a和b采用了不同介電常數的基片材料，天線工作頻率同樣是1575MHz。(a)所示天線采用的是普通微波介質材料=，=；(b)所示天線采用的是陶瓷材料=，=。從圖中天線的尺寸可以看出天線b的面積只有a的10%。由此可以看出采用高介電常數的基片可以有效減小天線的尺寸。但這類高介質天線的主要缺點是：(1)激勵出較強的表面波，表面損耗大，是增益減小，效率降低。(2)帶寬窄。對于半波結構的矩形微帶天線，電流在一個開路端和另一個開路端之間形成駐波，因此兩個開路端之間有一條零點位線。如果在零點位線處對地短接，就可以形成開路到短路的駐波分布，這樣就使矩形微帶天線的尺寸減小了一半。 三種短路加載的矩形微帶天線 Geometries of a rectangular patch antenna with (a) a shorting wall, (b) a shorting plate, and (c) a shorting pin微帶天線的加載方法主要包括短路加載和電阻加載。通常短路加載有三種形式：加載短路面、加載短路片以及加載短路針。(a)是加載短路面的四分之一波長結構的微帶天線。相對于半波結構的矩形微帶天線，加載短路面的微帶天線長度減小了一半。(b)和(c)中是用短路片和短路針代替了短路面，可以更大的降低天線的諧振頻率或減小天線尺寸。在文獻[6][7]中介紹的加載短路針的圓形微帶天線和矩形微帶天線，其諧振頻率是未加載結構的1/3，或者說對于固定的工作頻率，天線的尺寸減小了89%。另有文獻介紹加載短路針的等邊三角形微帶天線尺寸減小了94%。這主要是因為等邊三角形微帶天線中的零電位點比圓形貼片天線和矩形貼片天線更靠近底邊，因此當在頂點加載短路針時，造成的天線零電位點的偏移更大，從而導致了更低的諧振頻率。這種方法的缺點是：(1)阻抗匹配極大的依賴于短路針的位置及其與饋電點的距離，對制造公差要求很高。(2)帶寬窄。(3)H面的交叉極化電平相對較高。通過加載電阻的方法同樣可以減小天線的尺寸。由于天線在諧振頻率以下呈感性，因此在同軸饋電點附近加載負載電阻時，等效于加了個電容，從而使諧振頻率降低，而且隨加載電阻增大，天線的品質因數降低，帶寬展寬，制造公差降低，但這些性能的提高以犧牲增益為代價。微帶天線的曲流技術包括貼片曲流技術和接地板曲流技術。貼片曲流技術是一種通過彎曲天線貼片表面激勵電流路徑的天線小型化技術。我們知道，在微帶天線的金屬面上，每個共振模態(tài)的電流分布不同。若在相同的共振模態(tài)下開槽，則此凹槽就會破壞原來共振模態(tài)的電流路徑，使電流路徑變長，這樣天線的共振波長相對變大，因此天線的頻率隨凹槽的長短而變化，挖的凹槽越長相應的天線工作頻率降低的越多。利用這種概念就可以控制天線的工作頻率，設計出需要的天線特性。同時為了保證天線的特性，凹槽的寬度不能太大，太大會影響到天線的輻射場型。在頻寬方面因為開槽的原因使得天線的容抗變大，變大的容抗會抵消部分同軸饋入所造成的感抗，因此天線的頻帶會比只加短路針的頻帶稍寬。以矩形貼片天線為例。(a)是在矩形貼片的非輻射邊挖了幾條細縫，由圖可以看出，天線的表面電流被有效地彎曲，從而使固定尺寸的矩形貼片上電流路徑的有效長度大大增加，天線的諧振頻率顯著下降。(b)是在矩形貼片的非輻射邊挖了兩個三角形的切口，使表面電流路徑變長，這種結構可以歸結到蝶形貼片天線，與相同大小的矩形貼片天線相比，蝶形貼片天線具有更低的諧振頻率。