高等代數最重要的基本概念匯總(編輯修改稿)
2025-07-14 14:58 本頁面
【文章內容簡介】 數環(huán)，且令是n個文字，形如的表示式。其中是非負整數，叫作R上的一個單項式。數a叫作這個單項式的系數，如果某一，那么可以不寫，約定。因此，個文字的單項式總可以看成n個文字的單項式。特別，當時，我們有。形式表達式，是非負整數，叫作R上n個文字的一個多項式，或簡稱R上一個n元多項式。 我們通常用符號，等來表示R上n個文字的多項式。 數環(huán)R上的兩個n元多項式與的乘積是首項等于這兩個多項式首項的乘積。特別，兩個非零多項式的乘積也不等于零。 數環(huán)R上兩個不等于零的n元多項式的乘積的次數等于這兩個多項式次數的和。 設是數環(huán)R上的一個n元多項式，如果對于任意都有，那么 設與是數環(huán)R上n元多項式，如果對于任意都有，那么換句話說，如果由與確定的多項式函數相等，那么這兩個多項式相等。 對稱多項式定義1 設是數環(huán)R上的一個n元多項式，如果對于這n個文字的指標集施行任意一個置換后，都不改變，那么就稱是R上一個n元對稱多項式。定義2 （1），這里表示 中k個所作的一切可能乘積的和，這樣的n個多項式顯然都是n元對稱多項式。我們稱這n個多項式為n元對等對稱多項式。 設是數環(huán)R上一個n元對稱多項式，以代替，得到關于的一個多項式。如果，那么一切系數，即 數環(huán)R上一n元對稱多項式都可以表示成初等對稱多項式的系數在R中的多項式，并且這種表示法是唯一的。 設是數域F上的一個一元n次多項式，它的最高次項系數是1。令是是復數域內的全部根（按重根重數計算）。那么的每一個系數取自F的對稱多項式都是的系數的多項式（它的系數在F內）因而是F的一個數。第三章 行列式 排列定義1 n個數碼1，2，…，n的一個排列指的是由這n個數碼組成的一個有序組，叫做數碼的排列。定義2 一般的在一個排列里，如果某一個較大的數碼排在一個較小的數碼前面，就說這兩個數碼構成一個反序，在一個排列里出現的反序總數的總和叫做這個排列的反序數（逆序數）。一個排列的逆序數可能是偶數也可能是奇數，有偶數個逆序數的排列叫作一個偶排列；有奇數個逆序數的排列叫作一個奇排列。定義3 如果把這個排列里任意兩個數碼交換一下，而其余的數碼保持不動，那么就得到一個新的排列，對于排列所施行的這樣一個變換叫作一個對換，并且用符號來表示。 設和是n個數碼的任意兩個排列，那么 總可以通過一系列對換由得出。 每一個對換都改變排列的奇偶性。 時，n個數碼的奇排列與偶排列的個數相等，各為個。 n階行列式我們用符號來表示排列的逆序數。定義1 用符號 表示的n階行列式指的是項的代數和，這些項是一切可能取自的不同的行與不同的列上的n個元素的 乘積。項的符號為，也就是說，當是偶排列時，這一項的符號為正，當是奇排列時，這一項的符號為負。定義2 n階行列式 如果把D的行變?yōu)榱?，就得到一個新的行列式 叫作D的轉置行列式。 從n階行列式的第行和列取出的元素作積，這里和都是1，2，…，n這n個數碼的排列，那么這一項在行列式中的符號是 行列式與它的轉置行列式相等。 交換一個行列式的兩行（或兩列），行列式改變符號。 如果一個行列式有兩行（列）完全相同，那么這個行列式等于零。 把一個行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一個數k，等于以數k乘以這個行列式。 一個行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符號外邊。 如果一個行列式中有一行（列）的元素全是零，那么這個行列式等于零。 如果一個行列式有兩行（列）的對應元素成比例，那么這個行列式等于零。 設行列式D的第i行的所有元素都可以表示成兩項的和：那么D等于兩個行列式的和，其中的第i行的元素是，的第i行元素是，而的其他各行都和D的一樣。 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數后加到另一行（列）的對應元素上，行列式不變。 子式和代數余子式行列式的依行列展開定義1 在一個n階行列式D中任意取定k行和k列。位于這些行列式的相交處的元素所構成的k階行列式叫作行列式D的一個k階子式。定義2 階行列式 的某一元素的余子式指的是在D中劃去所在的行和列后所余下的階子式。定義3 n階行列式D的元素的余子式附以符號后,叫作元素的代數余子式。元素的代數余子式用符號來表示：。 若在一個n階行列式 中，第行（或第列）的元素除都是零，那么這個行列式等于與它的代數余子式的乘積： 行列式D等于它任意一行（列）的所有元素與它們對應代數余子式的乘積的和。換句話說，行列式有依行或依列展開式： 行列式
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