典型相關分析及其應用實例(編輯修改稿)
2025-07-14 13:15 本頁面
【文章內容簡介】 于是 因為 所以 式中，有 同理： 式中，有，由此可見，為的第對典型系數(shù)，其第個典型相關系數(shù)為，在標準化變換下具有不變性. 第3章 典型相關變量的性質根據(jù)典型相關分析的統(tǒng)計思想及推導，我們歸納總結了典型相關變量的一些重要性質并對總體與樣本分別給出證明.性質1 同一組的典型變量互不相關ⅰ總體典型相關設的第對典型變量為 ，則有 證明詳見參考文獻【5】.ⅱ樣本典型相關設的第對典型變量為 ，因為 ， ， ，表明由組成的第一組典型變量互不相關，且均有相同的方差1；同樣，由組成的第二組典型變量也互不相關，且也有相同的方差1.性質2 不同組的典型變量之間的相關性ⅰ總體典型相關 證明詳見參考文獻【5】.ⅱ樣本典型相關， 表明不同組的任意兩個典型變量，當時，相關系數(shù)為；當時是彼此不相關的.記，則上述性質可用矩陣表示為 或 其中性質3 原始變量與典型變量之間的關系求出典型變量后，進一步計算原始變量與典型變量之間的相關系數(shù)矩陣，.ⅰ總體典型相關的原始變量與典型變量的相關性詳見參考文獻【2】.ⅱ樣本典型相關記 =則 ，則通過以上計算所得到的原始變量與典型變量的協(xié)方差陣就是相關系數(shù)矩陣. ， ， 性質4 設分別為隨機向量，令，其中為階非退化矩陣，為維常數(shù)向量，為階非退化矩陣，：ⅰ對于總體典型相關有：⑴ 的典型相關變量為和，其中，（）；而是的第對典型相關變量的系數(shù).⑵ ，即線性變換不改變相關性.證明詳見參考文獻【2】.ⅱ對于樣本典型相關有：⑴ 的典型相關變量為和，其中，（）；而是的第對典型相關變量的系數(shù).⑵ ，即線性變換不改變相關性.證明：⑴ 設的典型相關變量分別為， 由于 ， ， 所以 即有是的第對典型相關變量的系數(shù). ⑵ 由⑴的證明可知由于與都是常數(shù)，所以 即有線性變換不改變相關性.性質5 簡單相關、復相關和典型相關之間的關系當，之間的（惟一）典型相關就是它們之間的簡單相關；當之間的（惟一），第一個典型相關系數(shù)至少同的任一分量與的復相關系數(shù)一樣大，即使所有這些復相關系數(shù)都很小，第一個典型相關系數(shù)仍可能很大；同樣，從復相關的定義也可以看出，當（或）時，之間的復相關系數(shù)也不會小于的任一分量之間的相關系數(shù)，即使所有這些相關系數(shù)都很小，復相關系數(shù)仍可能很大.第4章 典型相關系數(shù)的顯著性檢驗設總體的兩組變量，且，在做兩組變量，的典型相關分析之前，首先應該檢驗兩組變量是否相關，如果不相關，則討論兩組變量的典型相關就毫無意義.1． 考慮假設檢驗問題： ： ：至少有一個不為零，則認為討論兩組變量之間的相關性沒有意義；若檢驗拒絕，：， ：用似然比方法可導出檢驗的似然比統(tǒng)計量其中階樣本離差陣是的最大似然估計，且=，分別是，的最大似然估計.該似然比統(tǒng)計量的精確分布已由霍特林（1936），Girshik（1939）和Anderson（1958）給出，但表達方式很復雜，又不易找到該分布的臨界值表，下面我們采用的近似分布.利用矩陣行列式及其分塊行列式的關系，可得出：=所以其中是的特征值（），按大小次序排列為，當時，在成立下近似服從分布，這里，因此在給定檢驗水平之下，若由樣本算出的臨界值，則否定，也就是說第一對典型變量，具有相關性，其相關系數(shù)為，再檢驗其余個典型相關系數(shù)的顯著性，這時用提出的大樣本檢驗計算統(tǒng)計量：則統(tǒng)計量 近似地服從（）（）個自由度的分布，如果，則認為顯著，即第二對典型變量，相關，以下逐個進行檢驗，.2． 檢驗： 當否定時，表明相關，進而可以得出至少第一個典型相關系數(shù)，這時，故在否定后，有必要再檢驗，即第個及以后的所有典型相關系數(shù)均為.為了減少計算量，下面我們采用二分法來減少檢驗次數(shù)，取檢驗統(tǒng)計量為，若，則拒絕，即認為第對典型相關系數(shù)在顯著性水平下是顯著的，否則不顯著.從第2個典型相關系數(shù)到第個典型相關系數(shù)，共個數(shù)，所以根據(jù)二分法的原理，將它們分為一個區(qū)間，然后先檢驗第個典型相關系數(shù)即中位數(shù)，當時，即認為第個典型相關系數(shù)不相關，否定原假設，接著檢驗；若當時，由數(shù)學分析上的區(qū)間套定理，一定存在第個數(shù)，使得，而.以上的一系列檢驗實際上是一個序貫檢驗，檢驗的總顯著性水平已不是了，，檢驗的結果只宜作為確定典型變量個數(shù)的重要參考依據(jù)，而不宜作為惟一的依據(jù).第5章 典型相關分析的計算步驟及應用實例 典型相關分析的計算步驟設為取自正態(tài)總體的樣本（實際上，相當廣泛的情況下也對），每個樣品測量兩組指標，分別記為，原始資料矩陣為： 第一步 計算相關矩陣，并將剖分為 其中，分別為第一組變量和第二組變量之間的相關系數(shù)矩陣，為第一組與第二組變量之間的相關系數(shù).第二步
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