典型相關(guān)分析及其應(yīng)用實(shí)例(編輯修改稿)
2025-07-14 13:15 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 于是 因?yàn)? 所以 式中，有 同理： 式中，有，由此可見(jiàn)，為的第對(duì)典型系數(shù)，其第個(gè)典型相關(guān)系數(shù)為，在標(biāo)準(zhǔn)化變換下具有不變性. 第3章 典型相關(guān)變量的性質(zhì)根據(jù)典型相關(guān)分析的統(tǒng)計(jì)思想及推導(dǎo)，我們歸納總結(jié)了典型相關(guān)變量的一些重要性質(zhì)并對(duì)總體與樣本分別給出證明.性質(zhì)1 同一組的典型變量互不相關(guān)ⅰ總體典型相關(guān)設(shè)的第對(duì)典型變量為 ，則有 證明詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)【5】.ⅱ樣本典型相關(guān)設(shè)的第對(duì)典型變量為 ，因?yàn)? ， ， ，表明由組成的第一組典型變量互不相關(guān)，且均有相同的方差1；同樣，由組成的第二組典型變量也互不相關(guān)，且也有相同的方差1.性質(zhì)2 不同組的典型變量之間的相關(guān)性ⅰ總體典型相關(guān) 證明詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)【5】.ⅱ樣本典型相關(guān)， 表明不同組的任意兩個(gè)典型變量，當(dāng)時(shí)，相關(guān)系數(shù)為；當(dāng)時(shí)是彼此不相關(guān)的.記，則上述性質(zhì)可用矩陣表示為 或 其中性質(zhì)3 原始變量與典型變量之間的關(guān)系求出典型變量后，進(jìn)一步計(jì)算原始變量與典型變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣，.ⅰ總體典型相關(guān)的原始變量與典型變量的相關(guān)性詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)【2】.ⅱ樣本典型相關(guān)記 =則 ，則通過(guò)以上計(jì)算所得到的原始變量與典型變量的協(xié)方差陣就是相關(guān)系數(shù)矩陣. ， ， 性質(zhì)4 設(shè)分別為隨機(jī)向量，令，其中為階非退化矩陣，為維常數(shù)向量，為階非退化矩陣，：ⅰ對(duì)于總體典型相關(guān)有：⑴ 的典型相關(guān)變量為和，其中，（）；而是的第對(duì)典型相關(guān)變量的系數(shù).⑵ ，即線性變換不改變相關(guān)性.證明詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)【2】.ⅱ對(duì)于樣本典型相關(guān)有：⑴ 的典型相關(guān)變量為和，其中，（）；而是的第對(duì)典型相關(guān)變量的系數(shù).⑵ ，即線性變換不改變相關(guān)性.證明：⑴ 設(shè)的典型相關(guān)變量分別為， 由于 ， ， 所以 即有是的第對(duì)典型相關(guān)變量的系數(shù). ⑵ 由⑴的證明可知由于與都是常數(shù)，所以 即有線性變換不改變相關(guān)性.性質(zhì)5 簡(jiǎn)單相關(guān)、復(fù)相關(guān)和典型相關(guān)之間的關(guān)系當(dāng)，之間的（惟一）典型相關(guān)就是它們之間的簡(jiǎn)單相關(guān)；當(dāng)之間的（惟一），第一個(gè)典型相關(guān)系數(shù)至少同的任一分量與的復(fù)相關(guān)系數(shù)一樣大，即使所有這些復(fù)相關(guān)系數(shù)都很小，第一個(gè)典型相關(guān)系數(shù)仍可能很大；同樣，從復(fù)相關(guān)的定義也可以看出，當(dāng)（或）時(shí)，之間的復(fù)相關(guān)系數(shù)也不會(huì)小于的任一分量之間的相關(guān)系數(shù)，即使所有這些相關(guān)系數(shù)都很小，復(fù)相關(guān)系數(shù)仍可能很大.第4章 典型相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)設(shè)總體的兩組變量，且，在做兩組變量，的典型相關(guān)分析之前，首先應(yīng)該檢驗(yàn)兩組變量是否相關(guān)，如果不相關(guān)，則討論兩組變量的典型相關(guān)就毫無(wú)意義.1． 考慮假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題： ： ：至少有一個(gè)不為零，則認(rèn)為討論兩組變量之間的相關(guān)性沒(méi)有意義；若檢驗(yàn)拒絕，：， ：用似然比方法可導(dǎo)出檢驗(yàn)的似然比統(tǒng)計(jì)量其中階樣本離差陣是的最大似然估計(jì)，且=，分別是，的最大似然估計(jì).該似然比統(tǒng)計(jì)量的精確分布已由霍特林（1936），Girshik（1939）和Anderson（1958）給出，但表達(dá)方式很復(fù)雜，又不易找到該分布的臨界值表，下面我們采用的近似分布.利用矩陣行列式及其分塊行列式的關(guān)系，可得出：=所以其中是的特征值（），按大小次序排列為，當(dāng)時(shí)，在成立下近似服從分布，這里，因此在給定檢驗(yàn)水平之下，若由樣本算出的臨界值，則否定，也就是說(shuō)第一對(duì)典型變量，具有相關(guān)性，其相關(guān)系數(shù)為，再檢驗(yàn)其余個(gè)典型相關(guān)系數(shù)的顯著性，這時(shí)用提出的大樣本檢驗(yàn)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：則統(tǒng)計(jì)量 近似地服從（）（）個(gè)自由度的分布，如果，則認(rèn)為顯著，即第二對(duì)典型變量，相關(guān)，以下逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，.2． 檢驗(yàn)： 當(dāng)否定時(shí)，表明相關(guān)，進(jìn)而可以得出至少第一個(gè)典型相關(guān)系數(shù)，這時(shí)，故在否定后，有必要再檢驗(yàn)，即第個(gè)及以后的所有典型相關(guān)系數(shù)均為.為了減少計(jì)算量，下面我們采用二分法來(lái)減少檢驗(yàn)次數(shù)，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，若，則拒絕，即認(rèn)為第對(duì)典型相關(guān)系數(shù)在顯著性水平下是顯著的，否則不顯著.從第2個(gè)典型相關(guān)系數(shù)到第個(gè)典型相關(guān)系數(shù)，共個(gè)數(shù)，所以根據(jù)二分法的原理，將它們分為一個(gè)區(qū)間，然后先檢驗(yàn)第個(gè)典型相關(guān)系數(shù)即中位數(shù)，當(dāng)時(shí)，即認(rèn)為第個(gè)典型相關(guān)系數(shù)不相關(guān)，否定原假設(shè)，接著檢驗(yàn)；若當(dāng)時(shí)，由數(shù)學(xué)分析上的區(qū)間套定理，一定存在第個(gè)數(shù)，使得，而.以上的一系列檢驗(yàn)實(shí)際上是一個(gè)序貫檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的總顯著性水平已不是了，，檢驗(yàn)的結(jié)果只宜作為確定典型變量個(gè)數(shù)的重要參考依據(jù)，而不宜作為惟一的依據(jù).第5章 典型相關(guān)分析的計(jì)算步驟及應(yīng)用實(shí)例 典型相關(guān)分析的計(jì)算步驟設(shè)為取自正態(tài)總體的樣本（實(shí)際上，相當(dāng)廣泛的情況下也對(duì)），每個(gè)樣品測(cè)量?jī)山M指標(biāo)，分別記為，原始資料矩陣為： 第一步 計(jì)算相關(guān)矩陣，并將剖分為 其中，分別為第一組變量和第二組變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣，為第一組與第二組變量之間的相關(guān)系數(shù).第二步
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