【文章內容簡介】 ABC≌ △ ADC,這樣 就有 ∠ QAE=∠ ? ( ) ? 考點二 全等三角形的判定與性質 答案 D 因為在△ ABC和△ ADC中 ,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以△ ABC≌ △ ADC(SSS),故選 D. 2.(2022福建福州 ,21,8分 )一個平分角的儀器如圖所示 ,其中 AB=AD,BC=DC. 求證 :∠ BAC=∠ DAC. ? 證明 在△ ABC與△ ADC中 ,? ∴ △ ABC≌ △ ADC(SSS). ∴∠ BAC=∠ DAC. ,A B A DB C D CA C A C?????? ??3.(2022陜西 ,19,7分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB= AD⊥ AB交 BC的延長線于點 D,作 AE∥ BD、 CE⊥ AC,且 AE、 CE相交于點 :AD=CE. ? 證明 ∵ AE∥ BD,∴∠ EAC=∠ ACB. ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ ACB. ∴∠ EAC=∠ B.? (4分 ) 又 ∵∠ BAD=∠ ACE=90176。,∴ △ ABD≌ △ CAE.? (6分 ) ∴ AD=CE.? (7分 ) 4.(2022江蘇蘇州 ,24,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB= B、 C為圓心 ,BC長為半徑在 BC下方 畫弧 ,設兩弧交于點 D,與 AB、 AC的延長線分別交于點 E、 F,連接 AD、 BD、 CD. (1)求證 :AD平分 ∠ BAC。 (2)若 BC=6,∠ BAC=50176。,求 ? 、 ? 的長度之和 (結果保留 π). ? DE︵ DF︵解析 (1)證明 :由題意可知 BD=CD, 在△ ABD和△ ACD中 ,? ∴ △ ABD≌ △ ACD(SSS). ∴∠ BAD=∠ CAD,即 AD平分 ∠ BAC. (2)∵ AB=AC,∠ BAC=50176。, ∴∠ ABC=∠ ACB=65176。. ∵ BD=CD=BC,∴ △ BDC為等邊三角形 . ∴∠ DBC=∠ DCB=60176。, ∴∠ DBE=∠ DCF=55176。, ∵ BC=6,∴ BD=CD=6. ∴ ? 的長度 =? 的長度 =? =? . ∴ ? 、 ? 的長度之和為 ? +? =? . ,A B A CB D C DA D A D?????? ??DE︵ DF︵ 55 6180??? 116?DE︵ DF︵ 116? 116? 113?5.(2022江蘇蘇州 ,23,6分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,點 D,F分別在 AB,AC上 ,CF= CD,將線段 CD繞點 C按順時針方向旋轉 90176。后得 CE,連接 EF. (1)求證 :△ BCD≌ △ FCE。 (2)若 EF∥ CD,求 ∠ BDC的度數 . ? 解析 (1)證明 :∵ CD繞點 C按順時針方向旋轉 90176。后得 CE, ∴ CD=CE,∠ DCE=90176。. ∵∠ ACB=90176。, ∴∠ BCD=90176?！?ACD=∠ FCE. 在△ BCD和△ FCE中 ,? ∴ △ BCD≌ △ FCE. (2)由△ BCD≌ △ FCE得 ∠ BDC=∠ E. ∵ EF∥ CD, ∴∠ E=180176?！?DCE=90176。. ∴∠ BDC=90176。. ,C B C FB C D F C EC D C E???? ? ??? ??評析 本題考查全等三角形的判定及性質 ,平行線的性質 ,屬容易題 . 6.(2022浙江杭州 ,20,10分 )把一條 12個單位長度的線段分成三條線段 ,其中一條線段長為 4個單 位長度 ,另兩條線段長都是單位長度的整數倍 . (1)不同分法得到的三條線段能組成多少個不全等的三角形 ?用直尺和圓規(guī)作這些三角形 (用 給定的單位長度 ,不寫作法 ,保留作圖痕跡 )。 (2)求出 (1)中所作三角形外接圓的周長 . ? 解析 (1)124=8,長為 8的線段可以分成如下兩段 : 不全等的三角形有兩種 ,其三邊分別為 : ① 3,4,5。② 4,4,4. 當三邊為 3,4,5時 ,作圖如圖 1. ? ? 圖 1 線段 1 1 2 3 4 5 6 7 線段 2 7 6 5 4 3 2 1 ? 圖 2 當三邊為 4,4,4時 ,作圖如圖 2. (2)因為 32+42=52, 所以三角形 O1P1A1是直角三角形 , 所以外接圓直徑等于斜邊長 5, 所以外接圓的周長等于 5π. 因為三角形 O2P2A2是等邊三角形 , 所以外接圓的直徑等于 2? 4cos 30176。=? , 所以外接圓的周長等于 ? π. 23 8338337.(2022江蘇南京 ,27,11分 ) 【 問題提出 】 學習了三角形全等的判定方法 (即“ SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的 判定方法 (即“ HL”)后 ,我們繼續(xù) 對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究 . 【 初步思考 】 我們不妨將問題用符號語言表示為 :在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ ,對 ∠ B進行分類 ,可分為“ ∠ B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究 . 【 深入探究 】 第一種情況 :當 ∠ B是直角時 ,△ ABC≌ △ DEF。 (1)如圖 ,在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E=90176。,根據 ,可以知道 Rt△ ABC ≌ Rt△ DEF。 第二種情況 :當 ∠ B是鈍角時 ,△ ABC≌ △ DEF. (2)如圖 ,在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E,且 ∠ B、 ∠ E都是鈍角 .求證 :△ ABC≌ △ DEF。 ? 第三種情況 :當 ∠ B是銳角時 ,△ ABC和△ DEF不一定全等 . (3)在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E,且 ∠ B、 ∠ E都是銳角 ,請你用尺規(guī)在圖中作 出△ DEF,使△ DEF和△ ABC不全等 。(不寫作法 ,保留作圖痕跡 ) ? (4)∠ B還要滿足什么條件 ,就可以使△ ABC≌ △ DEF?請直接填寫結論 : 在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E,且 ∠ B、 ∠ E都是銳角 ,若 ,則△ ABC≌ △ DEF. 解析 (1)HL.? (2分 ) (2)證明 :如圖① ,分別過點 C、 F作對邊 AB、 DE上的高 CG、 FH,其中 G、 H為垂足 . ∵∠ ABC、 ∠ DEF都是鈍角 , ∴ G、 H分別在 AB、 DE的延長線上 . ∵ CG⊥ AG,FH⊥ DH, ∴∠ CGA=∠ FHD=90176。. ∵∠ CBG=180176?！?ABC,∠ FEH=180176?！?DEF,∠ ABC=∠ DEF,∴∠ CBG=∠ FEH. 在△ BCG和△ EFH中 , ∵∠ CGB=∠ FHE,∠ CBG=∠ FEH,BC=EF, ∴ △ BCG≌ △ EFH. ∴ CG=FH. 又 ∵ AC=DF, ∴ Rt△ ACG≌ Rt△ DFH. ∴∠ A=∠ D. 在△ ABC和△ DEF中 , ∵∠ ABC=∠ DEF,∠ A=∠ D,AC=DF, ∴ △ ABC≌ △ DEF.? (6分 ) ? 圖① (3)如圖② ,△ DEF就是所求作的三角形 . 圖② (9分 ) (4)本題 答案 不唯一 . ∠ B≥ ∠ A.? (11分 ) A組 2022— 2022年模擬 基礎題組 考點一 三角形的相關概念 三年模擬 1.(2022安徽蕪湖繁昌模擬 )如圖 ,M是△ ABC的邊 BC的中點 ,AN平分 ∠ BAC,且 BN⊥ AN,垂足 為 N,已知 AB=6,BC=10,MN=1,則△ ABC的周長為 . ? 答案 24 解析 延長 BN與 AC相交于 E點 ,因為 AN平分 ∠ BAC,且 BN⊥ AN,所以△ ABE為等腰三角形 ,所以 AE=AB=6,且 N為 BE的中點 ,又 M為 BC的中點 ,所以 MN=? CE,因為 MN=1,所以 CE=2,所以△ ABC 的周長為 6+10+6+2=24. ? 122.(2022安徽合肥十校第二次聯(lián)考 ,9)如圖 ,在△ ABC中 ,點 D、 E分別是邊 AB、 AC的中點 ,∠ B=5 0176。,∠ A=26176。,將△ ABC沿 DE折疊 ,點 A的對應點是點 A39。,則 ∠ AEA39。的度數是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵ D、 E分別是 AB、 AC的中點 , ∴ DE∥ BC,∴∠ AED=∠ C. 又 ∵∠ C=180176。(∠ A+∠ B)=104176。, ∴∠ AED=104176。. 易得△ AED≌ △ A39。ED, ∴∠ A39。ED=∠ AED=104176。. ∴∠ AEA39。=360176?！?A39。ED∠ AED=360176。104176。104176。=152176。. 3.(2022安徽安慶一模 ,18)如圖 ,在等腰直角△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AC=BC=2,點 D是邊 AC的中 點 ,點 E是斜邊 AB上的動點 ,將△ ADE沿 DE所在的直線折疊得到△ A1DE. (1)當點 A1落在邊 BC(含邊 BC的端點 )上時 ,折痕 DE的長是多少 ? (2)連接 A1B,當點 E在邊 AB上移動時 ,求 A1B長的最小值 . ? 解析 (1)∵ 點 D到 BC的距離是 CD,且 DC=DA=1, ∴ 當點 A1落在邊 BC上時 ,點 A1與點 C重合 ,如圖所示 , ? 此時 DE所在的直線為 AC的垂直平分線 ,即 DE為△ ABC的中位線 ,∴ DE=? BC=1. (2)如圖 ,連接 BD, ? 在 Rt△ BCD中 ,BD=? =? , 1222BC CD? 5由△ A1DE≌ △ ADE得 A1D=AD=1, 由 A1B+A1D≥ BD得 A1B≥ BDA1D=? 1,∴ A1B長的最小值是 ? 1. 5 51.(2022安徽合肥長豐競賽 ,5)如圖 ,某同學把一塊三角形的玻璃摔成了三塊 ,現(xiàn)在要到玻璃店去 配一塊完全一樣的玻璃 ,那么最省事的辦法是 ? ( ) ? ①去 ②去 ③去 ①和②去 考點二