【文章內容簡介】 生的數學學習能力人們的學習能力，還體現在對已有認識的延伸上．所謂認識的延伸，主要有兩個不同的方向，一個方向將原認識細致化、深入化；另一個方向是把原認識的范圍推廣、 擴大．因此，運用已學知識作深入性探究和拓展性探究，就成為考查學生數學學習能力既方便又十分有效的形式．（一）做深入化探究對已學知識作深入化探究，在中考試題中又有兩種主要形式，一是探究“存在性”，即從一個整體或過程中確定有無指定的特殊；二是對一般情況附加特殊條件（或特殊結論）去探究有怎樣的特殊結果（或需怎樣的特殊條件）．兩種形式都有利于對知識的深化．1. 探究“存在性”ACBOxy圖6例1． 已知：在Rt△OAB中，∠OAB=90176。，∠BOA=30176。，AB=2，若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖6所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．⑴ 求點C的坐標；⑵ 若拋物線經過C，A兩點，求此拋物線的解析式；⑶ 若拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M．問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．（注：拋物線的頂點坐標為，對稱軸公式為）．【2007年重慶市中考試題】【考法評析】本題的⑶就是一個“存在性”問題。由于在線段DB上有無窮多個點，過每個點都能以題中所述條件得到一個四邊形CDPM（或CDMP），從中探究有無點P，使四邊形CDPM為等腰梯形．這就是“在一個相對一般的情況中判定有無某個指定的特殊，并得出這個指定的特殊所具備的條件”，這一研究方式體現了人們使認識走向深化的基本途徑和手段，用在學習中，就體現為一種學習能力．因此，解決這類問題的情況，在一定程度上反映著學生在已學知識的基礎上探究具有深化意義新問題的能力．DQCPNBMADQCPNBMA圖7例2．如圖7，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（）．動點M，N同時從B點出發(fā)，分別沿，運動，速度是1厘米／秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動．設運動時間為t秒．⑴ 若厘米，秒，則PM=______厘米；⑵ 若厘米，求時間t，使，并求出它們的相似比；⑶ 若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；⑷ 是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．【2007年江蘇省揚州市中考試題】ADBGHFEC圖8例3 .如圖8，在正方形中，點在邊上，射線交于點，交的延長線于點．⑴ 求證：≌；⑵ 過點作，交于點，求證：；⑶ 設，試問是否存在的值，使為等腰三角形，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【2007年海南省中考試題】【考法評析】例2中的⑶和⑷都屬于“存在性”問題，其實，⑵也相當于一個“存在性”問題．例3的（3）也是一個“存在性”問題。通過這些“存在性”的探究，實際上使得對于原來的“一般”的變化過程認識得更為細致了，更深入了．這樣的試題，既能引導學生學會如何使問走向深入(題目陳述所暴露的信息對解題者的提示作用)，也能有效地考查學生的數學學習能力．例4．我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．BOADEC圖9⑴ 請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；⑵ 如圖9，在中，點分別在上，設相交于點O，若，．請你寫出圖中一個與∠A相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；⑶ 在中，如果∠A是不等于60176。的銳角，點分別在上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論．【2007年北京市中考試題】【考法評析】本題是在三角形的基礎上附加了特殊條件，從而得到圖中出現“等對邊四邊形”這樣的特殊結論。一方面，這個探究過程需要應用三角形的眾多知識；另一方面也說明了在一個情景的基礎上附加新條件就可能會形成對問題條件與結論的聯動變化而引發(fā)對新問題的研究與發(fā)現的新認識，產生新的結論（新認識）。因此，本題的考法能較好地考查學生的數學學習能力。ABCDO圖10例5．如圖10，點O是等邊內一點，．將繞點C按順時針方向旋轉60176。得，連接OD．⑴ 求證：是等邊三角形；⑵ 當時，試判斷的形狀，并說明理由；⑶ 探究：當為多少度時，是等腰三角形？【2007年福建省寧德市中考試題】【考法評析】本題的問題⑴是“等邊三角形兩鄰邊繞公共頂點60176。旋轉重合性”的運用，問題⑵是探究在特定條件下的特殊結論，而問題⑶是探究特殊結論所需要的特定條件．后兩個問題都屬于特殊化方向的探究．這樣的探究使對原問題的認識得到了進一步細化和深入，是對原問題認識的一種新發(fā)展．這樣的過程所體現的方法性的要求，在一定程度上就實現了對數學學習能力的考查．（二）作拓展性探究人們認識的發(fā)展，借助“由特殊到一般”是一條重要途徑，當特殊情況推廣到一般情況時，特殊情況的結論或則成立或則被改變，前一種情況就獲得“不變性”——即“變中不變”，后一種就是搞清楚了“變中變”——即找到“變化規(guī)律”。不論哪一種情況，都使認識得到了擴展和提升，都是具有探索