高三理數(shù)一輪復(fù)習(xí)：第六節(jié)數(shù)列(編輯修改稿)
2025-07-04 23:17 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100(人).【變式訓(xùn)練3】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為 .【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4≥10，S5≤15，所以≤a4≤3＋d，即5＋3d≤6＋2d，所以d≤1，所以a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值為4.總結(jié)提高，還要會(huì)用變通的公式，如在等差數(shù)列中，am＝an＋(m－n)d.、d、n、an、Sn中，知其中的三個(gè)量可求出其余兩個(gè)量，要求選用公式要恰當(dāng)，即善于減少運(yùn)算量，達(dá)到快速、準(zhǔn)確的目的.，要善于設(shè)元，目的仍在于減少運(yùn)算量，如三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，除了設(shè)a，a＋d，a＋2d外，還可設(shè)a－d，a，a＋d；四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可設(shè)為a－3m，a－m，a＋m，a＋3m.，要注意函數(shù)思想、方程思想、消元及整體消元的方法的應(yīng)用. 等比數(shù)列典例精析題型一 等比數(shù)列的基本運(yùn)算與判定【例1】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…).求證：(1)數(shù)列{}是等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an.【解析】(1)因?yàn)閍n＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn).整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，所以＝2，故{}是以2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知＝4＝(n≥2)，于是Sn＋1＝4(n＋1)＝4an(n≥2).又a2＝3S1＝3，故S2＝a1＋a2＝4.因此對(duì)于任意正整數(shù)n≥1，都有Sn＋1＝4an.【點(diǎn)撥】①運(yùn)用等比數(shù)列的基本公式，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于等比數(shù)列的特征量aq的方程是求解等比數(shù)列問(wèn)題的常用方法之一，同時(shí)應(yīng)注意在使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)充分討論公比q是否等于1；②應(yīng)用定義判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列是最直接，最有依據(jù)的方法，也是通法，若判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列可用＝q(常數(shù))恒成立，也可用a＝anan＋2 恒成立，若判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列則只需舉出反例即可，也可以用反證法.【變式訓(xùn)練1】等比數(shù)列{an}中，a1＝317，q＝－.記f(n)＝a1a2…an，則當(dāng)f(n)最大時(shí)，n的值為( ) 【解析】an＝317(－)n－1，易知a9＝317＞1，a10＜0,0＜a11＜…a9＞0，故f(9)＝a1a2…a9的值最大，此時(shí)n＝.題型二 性質(zhì)運(yùn)用【例2】在等比數(shù)列{an}中，a1＋a6＝33，a3a4＝32，an＞an＋1(n∈N*).(1)求an；(2)若Tn＝lg a1＋lg a2＋…＋lg an，求Tn. 【解析】(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1a6＝a3a4＝32，又a1＋a6＝33，a1＞a6，解得a1＝32，a6＝1，所以＝，即q5＝，所以q＝，所以an＝32()n－1＝26－n .(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，{lg an}是等差數(shù)列，因?yàn)閘g an＝lg 26－n＝(6－n)lg 2，lg a1＝5lg 2，所以Tn＝＝lg 2.【點(diǎn)撥】歷年高考對(duì)性質(zhì)考查較多，主要是利用“等積性”，題目“小而巧”且背景不斷更新，要熟練掌握. 【變式訓(xùn)練2】在等差數(shù)列{an}中，若a15＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a29－n(n＜29，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列{bn}中，若b19＝1，能得到什么等式？ 【解析】由題設(shè)可知，如果am＝0，在等差數(shù)列中有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n(n＜2m－1，n∈N*)成立，我們知道，如果m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，而對(duì)于等比數(shù)列{bn}，則有若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，所以可以得出結(jié)論：若bm＝1，則有b1b2…bn＝b1b2…b2m－1－n(n＜2m－1，n∈N*)成立.在本題中則有b1b2…bn＝b1b2…b37－n(n＜37，n∈N*).題型三 綜合運(yùn)用【例3】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中an≠0，a1為常數(shù)，且－a1，Sn，an＋1成等差數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝1－Sn，問(wèn)是否存在a1，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？若存在，則求出a1的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】(1)由題意可得2Sn＝an＋1－a1.所以當(dāng)n≥2時(shí)，有兩式相減得an＋1＝3an(n≥2).又a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以{an}是以首項(xiàng)為a1，公比為q＝3的等比數(shù)列. 所以an＝a13n－1.(2)因?yàn)镾n＝＝－a1＋a13n，所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a13n.要使{bn}為等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)1＋a1＝0，即a1＝－2，此時(shí)b
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