【文章內(nèi)容簡介】 恒成立， 1)0( ??f 設(shè) 0?x ，則 0??x ，由 1)()())(( ????? xfxfxxf 得)(1)( xfxf ??， ?當(dāng) 0?x 時(shí)， 1)(1,1)(0 ??? xfxf ?當(dāng) 0?x 時(shí) , 0??x , 1)(1)( ??? xfxf 第 13 頁 共 165 頁 （ 2）證法一： 設(shè) 21 xx? ，則 012 ??xx ， )()()[()( 1121122 xfxxfxxxfxf ????? 1)(00 1212 ?????? xxfx? ? ),()()( 1112 xfxfxxf ?? )()( 21 xfxf ?? ,函數(shù)為減函數(shù) 證法二： 設(shè) 21 xx? ，則 ])[()()()( 112121 xxxfxfxfxf ????? ?? )( 1xf )()( 112 xfxxf ? = )(1xf )](1[ 12 xxf ?? 1)(00 1212 ?????? xxfxx? , 0)(,0)](1[ 112 ????? xfxxf 故 ?? )()( 21 xfxf )(1xf 0)](1[ 12 ??? xxf )()( 21 xfxf ?? ,函數(shù)為減函數(shù) （ 3）解： ∵ )1()()( 22 fyfxf ? ， 1)2( ??? yaxf ∴ 02,122 ????? yaxyx 若 ???BA ，則圓心 )0,0( 到直線的距離應(yīng)滿足 1122 ??? ad，解之得 32?a ， 33 ???? a 變式：已知定義在 R上的函數(shù)滿足： ? ? ? ? ? ?f x y f x f y? ? ?，當(dāng) x＜ 0時(shí)， f x( )?0 。 （ 1）求證： f x() 為奇函數(shù)；（ 2）求證： f x() 為 R上的 增函數(shù)； （ 3）解關(guān)于 x的不等式： ? ? ? ?f ax f x f a x f a2 22 2? ? ?( ) ( )。（其中 a?0 且 a為常數(shù)） 解：（ 1）由 ? ? ? ? ? ?f x y f x f y? ? ?，令 x y? ?0 ，得： f f f( ) ( ) ( )0 0 0? ? ，即 f( )0 0? 再令 x y? ?0 ，即 y x?? ，得： f f x f xf x f x( ) ( ) ( )( ) ( )0 ? ? ?? ? ? ? ?f x( ) 是奇函數(shù)?????? 4分 （ 2）設(shè) x x R1 ? ，且 x x1 2? ，則 x x1 2 0? ? 由已知得： ? ?f x x1 2 0? ? 第 14 頁 共 165 頁 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?f x x f x f x f x f xf x f x1 2 1 2 1 21 20 即 f x() 在 R上是增函數(shù)?????? 8分 （ 3） ? f ax f a f a x f x( ) ( ) ( ) ( )2 22 2? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?f ax a f a x x2 22 2 ? ? ? ?ax a a x x2 22 2 即 ? ?ax a x a2 2 2 2 0? ? ? ? ? ?? a x a a xx a x a? ? ???? ??? ? ?? ???? ??? ? ?0 2 2 02 02， 當(dāng) 2a a? ，即 a? 2 時(shí)，不等式解集為 x xa x a| ? ???? ???2 或 當(dāng) 2a a? ，即 a? 2 時(shí)，不等式解集為 ? ?x x| ? 2 當(dāng) 2a a? ，即 0 2? ?a 時(shí)，不等式解集為 x x a xa| ? ???? ???或 2?????? 13分 【范例 2】 已 知 f(x)= 222??x ax(x∈ R)在區(qū)間 [－ 1， 1]上是增函數(shù) .，（ 1）求實(shí)數(shù) a的值組成的集合 A； （ 2）設(shè)關(guān)于 x的方程 f(x)=x1 的兩個(gè)非零實(shí)根為 x ：是否存在實(shí)數(shù) m，使得不等式 m2+tm+1≥ |x1－ x2|對任意 a∈ A及 t∈ [－ 1， 1]恒成立？若存在，求 m的取值范圍；若不存在，請說明理由 . 解：（ 1） f＇ (x)=222)2( 224 ???x xax= 222)2( )2(2 ? ??? x axx， [來源 :狀167。元167。源 ] ∵ f(x)在 [－ 1， 1]上是增函數(shù)， ∴ f＇ (x)≥ 0對 x∈ [－ 1， 1]恒成立， 即 x2－ ax－ 2≤ 0對 x∈ [－ 1， 1]恒成立 . ① 設(shè) ? (x)=x2－ ax－ 2， ① (1 )= 1 a2 0(1 )= 1 + a2 0?? ??? ? ?? ? － 1≤ a≤ 1， ∵對 x∈ [－ 1， 1]， f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng) a=1時(shí)， f＇ (1)=0以及當(dāng) a=－ 1時(shí)， f＇ 第 15 頁 共 165 頁 (1)=0 ∴ A={a|－ 1≤ a≤ 1}. （ 2）由222??x ax=x1，得 x2－ ax－ 2=0， ∵△ =a2+80 ∴ x1， x2是方程 x2－ ax－ 2=0的兩非零實(shí)根， x1+x2=a， ∴ 從而 |x1－ x2|= 21221 4)( xxxx ?? = 82?a . x1x2=－ 2， ∵－ 1≤ a≤ 1，∴ |x1x2|= 82?a ≤ 3. 要使不等式 m2+tm+1≥ |x1－ x2|對任意 a∈ A及 t∈ [－ 1， 1]恒成立， 當(dāng)且僅當(dāng) m2+tm+1≥ 3對任意 t∈ [－ 1， 1]恒成立， 即 m2+tm－ 2≥ 0對任意 t∈ [－ 1， 1]恒成立 . ② 設(shè) g(t)=m2+tm－ 2=mt+(m2－ 2)， 方法一： g(－ 1)=m2－ m－ 2≥ 0， ② ? g(1)=m2+m－ 2≥ 0， [來源 :狀 *元 *源 Z*y*y*100K] ? m≥ 2或 m≤－ 2. 所以，存在實(shí)數(shù) m，使不等式 m2+tm+1≥ |x1－ x2|對任意 a∈ A及 t∈ [－ 1， 1]恒成立，其取值范圍是 {m|m≥ 2，或 m≤－ 2}.[來源 狀。元。源 網(wǎng) ] 方法二： 當(dāng) m=0時(shí)，②顯然不成立； 當(dāng) m≠ 0時(shí)， m0， m0， ② ? 或 g(－ 1)=m2－ m－ 2≥ 0 g(1)=m2+m－ 2≥ 0 ? m≥ 2或 m≤－ 2. 所以，存在實(shí)數(shù) m，使不等式 m2+tm+1≥ |x1－ x2|對任意 a∈ A及 t∈ [1， 1]恒成立，其取值范圍是 {m|m≥ 2，或 m≤－ 2}. 【點(diǎn)晴】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào) 性和最值 .在解決函數(shù)綜合問題時(shí)要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法化歸為基本問題來解決 . 變式：設(shè)函數(shù) ? ? 11axfx x ?? ? ，其中 aR? （ 1）解不等式 ? ? 1fx?? [來源 :Z*xx*] （ 2）求 a 的取值范圍，使 ??fx在區(qū)間 ? ?0,?? 上是單調(diào)減函數(shù)。 解：（ 1）不等式 ? ? 1fx?? 即為 ? ?11 1011axaxxx?? ? ? ? ???[來源 :] 當(dāng) 1a?? 時(shí)，不等式解集為 ? ? ? ?, 1 0,?? ? ?? 第 16 頁 共 165 頁 當(dāng) 1a?? 時(shí)，不等式解集為 ? ? ? ?, 1 1,?? ? ? ?? 當(dāng) 1a?? 時(shí)，不等式解集為 ? ?1,0? （ 2）在 ? ?0,?? 上任取 12xx? ，則 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1212121 2 1 21111 1 1 1a x xa x a xf x f x x x x x????? ? ? ?? ? ? ? 1 2 1 2 1 20 0 , 1 0 , 1 0x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以要使 ??fx在 ? ?0,?? 遞減即 ? ? ? ?120f x f x??，只要 10a?? 即 1a?? 故當(dāng) 1a?? 時(shí)， ??fx在區(qū)間 ? ?0,?? 上是單調(diào)減函數(shù)。 【范例 3】 已知函數(shù) ()fx的定義域?yàn)?[0,1] ，且同時(shí)滿足：① (1) 3f ? ；② ( ) 2fx? 恒成立；③若 1 2 1 20 , 0 , 1x x x x? ? ? ?，則有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2f x x f x f x? ? ? ?． （ 1）試求函數(shù) ()fx的最大值和最小值； （ 2）試比較 1()2nf與 1 22n?的大小 (n? N）； （ 3）某人發(fā)現(xiàn)：當(dāng) x=12n(n?N)時(shí)，有 f(x)2x+：對一切 x?(0,1] ,都有( ) 2 2f x x??，請你判斷此猜想是否正確，并說明理由． 解 : (1)設(shè) 0≤ x1x2≤ 1,則必存在實(shí)數(shù) t?(0,1),使得 x2=x1+t, 由條件③得 ,f(x2)=f(x1+t)?f(x1)+f(t)2, ∴ f(x2)f(x1)?f(t)2, 由條件②得 , f(x2)f(x1)?0, 故 當(dāng) 0≤ x≤ 1時(shí) ,有 f(0)≤ f(x)≤ f(1). 又在條件③中 ,令 x1=0,x2=1,得 f(1)?f(1)+f(0)2,即 f(0)≤ 2,∴ f(0)=2, 故函數(shù) f(x)的最大值為 3,最小值為 2. (2)解 :在條件③中 ,令 x1=x2=12n,得 f( 12n1)?2f(12n)2,即 f(12n)2≤ 12[f( 12n1)2], 故當(dāng) n?N*時(shí)，有 f(12n)2≤ 12[f( 12n1)2]≤ 122[f( 12n2)2]≤178。178。178?！?12n[f(120)2]=12n, 即 f(12n)≤ 12n+2. 又 f(120)=f(1)=3≤ 2+120, 所以對一切 n?N,都有 f(12n)≤ 12n+2. [來源 Zamp。] (3)對一切 x?(0,1] ,都有 ( ) 2 2f x x??. 對任意滿足 x?(0,1] ，總存在 n(n?N),使得 第 17 頁 共 165 頁 12n+1x≤ 12n, 根據(jù)（ 1）（ 2）結(jié)論，可知： f(x)≤ f(12n)≤ 12n+2, 且 2x+22? 12n+1+2=12n+2, 故有 ( ) 2 2f x x??. 綜上所述，對任意 x?(0,1] , ( ) 2 2f x x??恒成立 . 第 18 頁 共 165 頁 第四講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 ★★★ 高考在考什么 【考題回放】 1 ．已知對任意實(shí)數(shù) x ，有 ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x? ? ? ? ?，且 0x? 時(shí)，( ) 0 ( ) 0f x g x????， ，則 0x? 時(shí)（ B ） A． ( ) 0 ( ) 0f x g x????， B． ( ) 0 ( ) 0f x g x????， C． ( ) 0 ( ) 0f x g x????， D． ( ) 0 ( ) 0f x g x????， 2．曲線 12exy? 在點(diǎn) 2(4 e)， 處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（ D ） Ａ． 29e2 Ｂ． 24e Ｃ． 22e Ｄ． 2e 3．設(shè) 2: ( ) e l n 2 1xp f x x x m x? ? ? ? ?在 (0 )??， 內(nèi)單調(diào)遞增， :5qm?≥ ，則 p 是 q 的（ B ） Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 [來源 :Z ] Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分 也不必要條件 4．設(shè) ()fx? 是函數(shù) ()fx 的導(dǎo)函數(shù)，將 ()y f x? 和 ()y f x?? 的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（ D ） [來源 :狀 .元 .源 ] 5． 函數(shù) ( ) ln ( 0)f x x x x??的單調(diào)遞增區(qū)間是 ＿＿＿＿． 1,e???????? 6．若 直線 y=x是曲線 y=x33x2+ax的切線，則 a= ； [來源 :狀元源 ] ★★★ 高考要考什么 第 19 頁 共 165 頁 1． 導(dǎo)數(shù)的定義：00 0 0 0 00 000( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( )( ) l im l im l im 2x x x xf x x