關(guān)于解決嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略的問題數(shù)學(xué)建模論文(編輯修改稿)
2024-12-07 15:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 Nlt L tt N N L t t t? ????? 0,1,...,lN? 容易驗證 1()0lj ljt lj? ??? ? ?? （ 9） 這樣就可以構(gòu)造 ()Ft 的 N次 Lagrange 插值多項式 ()NFt： 0( ) ( ) ( )NNlllF t F t t??? ? （ 10） 根據(jù)式（ 9），可得： ( ) ( )NF tk F tk? 0,1, ,kN? 對式（ 10）求微分，即可得插值函數(shù) ()NFt在配置點 kt 處的導(dǎo)數(shù) 0( ) ( )NNm m l llF t D F t??? ? 式中 ()mlDD?? 是一個 ( 1) ( 1)NN? ? ? 矩陣： ( 1 ) ( 1 )()( ) ( )( 1 )0() 4( 1 )40NmNm l N NLtmltm tl L tlNNmlDDNNm l Nothe r? ? ? ????????? ? ? ??? ?? ?? ????? （ 11） 使用偽光譜方法的一個重要步驟是將狀態(tài)量 ()xt 和 ()ut 在配置點 kt 離散化，即構(gòu)建 kt 和()ut 的 N次 Lagrange 插值多項式： N0( )= ( )N lllx t a t??? 8 0( ) ( )Nlllu t b t???? la 和 lb 是待求 1N? 維變量，分別為 ()xt 和 ()ut 在配置點的值，即： ( ) ( ) , ( ) ( )NNk k k k k ka x t x t b u t u t? ? ? ? 將狀態(tài)量和控制量離散后，原最優(yōu)控制問題的運動微分方程（見式（ 5））可以表示為 ( ) ( ( ) , ( ) ) 0 , 1 , . . . ,N N Nx tk f x tk u tk k N?? （ 12） 邊值條件（見式（ 6））可以表示為 0( 1 ) , ( (1 ) ) 0NNx x x?? ? ? （ 13） 軌道約束（見式（ 3））可以表示為 ( ( ) , ( ) ) 0 1 , 2 , . . . ,NNjC x tk u tk j c?? （ 14） 性能指標(biāo)（見式（ 8））可以表示為 11( ( 1 ) ( ( ) , ( ) )N N N NJ h x g x t u t d t??? ? （ 15） 記 0 ( 1 ) 0 ( 1 )( ) ( , . . . , ) ( ) ( , . . . , )TTik i k k n k ik i k k l ka x tk a a a b u tk b b b??? ? ? ? 使用偽光譜方法的另一個重要步驟是將性能指標(biāo)式（ 15）離散化：用 GaussLobatto積分式近似的積分項，即 101 ( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )NN N N Nkkg x t u t d t g x tk u t ??? ? ?? 則 1001( ( 1 ) ) ( ( ) , ( ) ) ( ) ( ( ) , ( ) ) ( ) ( , )NNN N N N N NN k N k k kkkJ h x g x t u t d t h a g x tk u tk h a g x b?????? ? ? ? ? ???? 其中權(quán)重 ? ?221 0 , 1 , .. .,( 1 ) ()k Nw k NNN L tk? ? ? ?? 約束式（ 12）可以重新寫成 ( ) ( ( ) , ( ) ) 0 0 , 1 , .. .,N NNm l ll D x t f x tk u tk k N? ? ? ?? 約束式（ 11）可以重新寫成 ( ( ) , ( ) ) 0 0 , 1 , ... , 0 , 1 , ... ,NNiC x tk u tk j c k N? ? ? 通過上述處理，原最優(yōu)問題 OPT1 可以由如下約束參數(shù)優(yōu)化問題（用 OPT2 表示）表述： 9 尋找 0 1 0 1( , , . . . , ) ( , , . . . , )NNa a a a b b b b??、 使 0( ) ( , )NNN k k kkJ h a g a b ???? ? 取極小值，并滿足不等式約束（ 13）和不等式約束（ 14）。 （ 2）乘子發(fā)和 BFGS 法 本文采用乘子法處理 OPT2 的約束條件，再應(yīng)用變尺度法 BFGS 求解處理后的優(yōu)化問題。下面以求解無約束參數(shù)優(yōu)化問題 min Xf（ ） （ X 為待優(yōu)化的參數(shù)）為例，簡要的介紹BFGS 方法。 為了書寫方便，記 1g ( ) , ( )k k k kf X G f X???。 BFGS 算法的基本思想是在 1kX? 處，按某種規(guī)則產(chǎn)生一個正定對稱矩陣 1kB? ： 111 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )T T TTk k k k k kkk T T Tk k k k k kX g X g X XB I B IX g X g X g??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 其中 11,k k k k k kg g g X X X??? ? ? ? ? ?。 kX 和 1kX? 為連續(xù)的兩個迭代點。以 11 1 1k k kP B g?? ? ???作為 1kX? 處的搜索方向。 仿真計算及結(jié)果分析 嫦娥三號衛(wèi)星的發(fā)動機(jī)比沖 2940 /I m s? ，軌道邊界條件為狀態(tài)初始值和終端約束值見表一。性能指標(biāo)為軟著陸過程中所消耗推進(jìn)劑最少，即： ()J M tf?? 表一 狀態(tài)量邊界值及終端約束滿足情況 邊界值 速度 /( / )ms 高度 /m 軌道傾角 /() 質(zhì)量 /kg 0()xt 1670 15000 Free 2400 ()fxt 57 3000 2245 ()| fttxt? 0 2400 90 2231 約束終端的情況見表一：終端質(zhì)量為 2231kg ；整個飛行時間為 。 仿真得到的優(yōu)化軌道如圖 1— 4 所示，分別為速度變化曲線、軌道傾角變化曲線、高度變化曲線和質(zhì)量變化曲線。優(yōu)化控制量變化曲線如圖 5 和圖 6所示，分別為推力攻角變化曲線和推進(jìn)劑消耗率變化曲線。 10 從表一和圖 1— 6中可以看出優(yōu)化軌道變化平緩，能很好地收斂到終端約束值，且精度較高；優(yōu)化控制推力攻角和推進(jìn)劑消耗率變化平緩，無突變且能很好滿足控制量約束，即整個飛行軌道是可控制的。 圖 1 速度變化曲線 圖 2 軌道傾角變化曲線 圖 3 高度變化曲線 圖 4 質(zhì)量變化曲線 圖 5 推力攻角變化曲線 圖 6 推進(jìn)劑消耗率變化曲線 [3] 七、基于高程圖數(shù)據(jù)的危險區(qū)識別算法 識別算法的模型建立 依據(jù)附件 3 的距月球 2400m 的高程圖，把月球表面劃分為 10 10mm? 的區(qū)格。通過就算每個區(qū)格的粗糙度 ()? 、 坡度 ()? 及其預(yù)定的著路點的距離 ()l ，進(jìn)行適當(dāng)加權(quán)，從而優(yōu)選最佳的安全著陸點。 定義每個區(qū)格內(nèi)所有樣點的方差 ? ，作為該網(wǎng)格的粗糙度。將每個區(qū)格平均劃分成九個小的單位，取出每一個小單位的角位置四個點，任取三個點可以組成一個平面，計算這個平面與月球的水平夾角 ? ?？梢缘贸鏊膫€坡度 值 1 2 3 4, , ,? ? ? ? ，在每一個小單位中 11 都可以得到相應(yīng)的 1 2 3 4, , ,i i i i? ? ? ? ，求對應(yīng)的 ? 的均值，作為該網(wǎng)格的坡度值。借助 MATLAB編程即可確定最佳的著陸策略。 距月球 2400m 與 100
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