【文章內(nèi)容簡介】 圖1MP A B C I1 I 2=2I1 a 2a2a? 原 檢查 A支座的水 平位移 △ 1是否 為零。 將 M圖與 相乘得 ]=0 … 返 回 34 167。 1— 9 溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算 對于超靜定結(jié)構(gòu)，溫度變化時(shí)不但產(chǎn)生變形和位移， 同時(shí)產(chǎn)生內(nèi)力。 用力法分析 超靜定 結(jié)構(gòu)在溫度變化時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)力， 其原理與荷載作用下的計(jì)算相同。例如圖示剛架溫度發(fā) 生變化，選取基本結(jié)構(gòu)（見圖）， t1 t1 t2 t3 t1 t1 t2 t3 ? X1 X2 ? X3 典型方程為 ?11X1+?12X2+?13X3+△ 1t=0 ?21X1+?22X2+?23X3+△ 2t=0 ?31X1+?32X2+?33X3+△ 3t=0 其中系數(shù)的計(jì)算同前， 自由項(xiàng) △ 1t、 △ 2t、 △ 3t 分別為基本結(jié)構(gòu)由于溫 度變化引起的沿 X X2 X3方向的位移。即 返 回 35 例 1— 6 剛架外側(cè)溫度升高 25℃ ，內(nèi)側(cè)溫度升高 35℃ ， 繪彎矩圖并求橫梁中點(diǎn)的豎向位移。剛架 EI=常數(shù)，截面 對稱于形心軸，其高度 h=L/10,材料的膨脹系數(shù)為 ?。 L L + 25℃ +35℃ 解： n=1 選取基本結(jié)構(gòu) ? X1 基 + 25℃ +35℃ 典型方程為 : ?11X1+△ 1t=0 計(jì)算 并繪制 圖 ? 1 1M 圖 1NL L 1 求得系數(shù)和自由項(xiàng)為 = 故得 =－ 230?L … 返 回 36 按 M圖 作彎矩圖 求橫梁中點(diǎn) K的位移△ K， 作基本結(jié)構(gòu)虛擬狀態(tài)的 圖 并求出 ，然后計(jì)算位移 K ? 1 KN0 KM圖 L/4 138?EI/L －1/2 －1/2 返 回 37 167。 1— 10 支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算 超靜定結(jié)構(gòu)當(dāng)支座移動(dòng)時(shí)，位移的同時(shí)將產(chǎn) 生內(nèi)力。 對于靜定結(jié)構(gòu)，支座移動(dòng)時(shí)將使其產(chǎn)生位移， 但并不產(chǎn)生內(nèi)力。例如 A B C A B C ? ? ? 返 回 38 用力法分析超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力，其原 理同前，唯一的區(qū)別僅在于典型方程中的自由項(xiàng)不同。 例如圖示剛架， A B L a b ? 可建立典型方程如下： ?11X1+?12X2+?13X3+△ 1△ =0 ?21X1+?22X2+?23X3+△ 2△ =－ ? ?31X1+?32X2+?33X3+△ 3△ =－ a A B ? X1 ?X2 ? X3 基 式中系數(shù)的計(jì)算同前，自由項(xiàng)按式 (7— 15)計(jì)算。 （ 7— 15) 最后內(nèi)力按下式計(jì)算 在求位移時(shí)，應(yīng)加上支座移動(dòng)的影響： 返 回 39 例： 1— 7 兩端固定的等截面梁 A端發(fā)生了轉(zhuǎn)角 ?，分析其內(nèi)力。 A B L ? 解： n=3 選取基本結(jié)構(gòu)如圖， X1 ? X2 ? X3 基本結(jié)構(gòu) 因X3=0,則典型方程為 ?11X1+?12X2+△ 1△ =－ ? ?21X1+?22X2+△ 2△ =0 繪出 圖， 1 ? 1X2 ?圖2M1X1? 1 圖1M圖乘得 ， ， 由題意知：△ 1t= △ 2t=0,將上 述結(jié)果代入方程后解得 按式 作彎矩圖。 A B ?lEI4?lEI2M圖 返 回 40 167。 1— 11 超靜定結(jié)構(gòu)的特性 超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)對比，具有以下一些重要特性： ，當(dāng)結(jié)構(gòu)受到荷載外其他因素 影響，如溫度變化、支座移動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生內(nèi)力。 ， 必須考慮變形條件，因此內(nèi)力與桿件的剛度有關(guān)。 ，仍能維持幾何 不變，故有較強(qiáng)的防御能力。 ，一般地說要比相 應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)剛度大些，內(nèi)力分布也均勻些。 返 回 41 第二節(jié) 位 移 法 167。 2— 1 概述 167。 2— 2 等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程 167。 2— 3 位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu) 167。 2— 4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟 167。 2— 5 直接由平衡條件建立位移法基本方程 167。 2— 6 對稱性的利用 42 167。 2— 1 概 述 力法和位移法是分析超靜定結(jié)構(gòu)的兩 種基本方法。力法于十九世紀(jì)末開始應(yīng)用， 位移法建立于上世紀(jì)初。 力法 —— 位移法 —— 以某些結(jié)點(diǎn)位移為基本未 知量，由平衡條件建立位移法方程，求出 位移后再計(jì)算內(nèi)力。 以多余未知力為基本未知量， 由位移條件建立力法方程，求出內(nèi)力后再 計(jì)算位移。 返 回 43 位移法的基本概念 以圖示剛架為例予以說明 1 2 3 EI=常數(shù) P 2l 2l 剛架在荷載 P作用下將發(fā)生如虛 線所示的變形。 Z1 Z1 在剛結(jié)點(diǎn) 1處發(fā)生轉(zhuǎn) 角 Z1，結(jié)點(diǎn)沒有線位移。則 12桿可 以視為一根兩端固定的梁（見圖）。 1 P Z1 2 其受荷載 P作用和支座 1發(fā)生轉(zhuǎn)角 Z1 這兩種情況下的內(nèi)力均可以由力法 求。同理， 13桿可以視為一根一端 固定另一端鉸支的梁（見圖）。 1 3 Z1 而 在固定端 1處發(fā)生了轉(zhuǎn)角 Z1，其內(nèi) 力同樣由力法求出。 可見，在計(jì)算剛架時(shí)，如果以 Z1為基本未知量，設(shè)法首先求出 Z1， 則各桿的內(nèi)力即可求出。 這就是位移法的基本思路 。 Z1 返 回 44 由以上討論可知，在位移法中須解 決以下問題： （ 1）用力法算出單跨超靜定梁在桿 端發(fā)生各種位移時(shí)以及荷載等因素作 用下的內(nèi)力。 （ 2）確定以結(jié)構(gòu)上的哪些位移作為 基本未知量。 （ 3）如何求出這些位移。 下面依次討論這些問題。 返 回 45 167。 2— 2 等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程 本節(jié)解決第一個(gè)問題。 用位移法計(jì)算超靜定剛架時(shí)，每根桿件均視為單跨超靜定梁。 計(jì)算時(shí)，要用到各種單跨超靜定梁在桿端產(chǎn)生位移 (線位移、角位 移 )時(shí) ,以及在荷載等因素作用下的桿端內(nèi)力 (彎矩、剪力 )。為了應(yīng) 用方便，首先推導(dǎo)桿端彎矩公式。 如圖所示，兩端固定的等截 面梁， A B L EI P t1 t2 A′ B′ ?A ?B ?AB 除受荷載及溫度變化外，兩支座還發(fā)生位移：轉(zhuǎn)角 ?A、 ?B及側(cè)移△ AB 。 轉(zhuǎn)角 ?A、 ?B順時(shí)針為正， △ AB則以整個(gè)桿件順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正。 在位移法中，為了計(jì)算方便，彎矩的符號(hào)規(guī)定如下：彎矩是以對桿端順時(shí)針為正 (對結(jié)點(diǎn)或?qū)χё阅鏁r(shí)針為正 )。 圖中所示均為正值。 MAB A MBA B 返 回 46 A B L EI P t1 t2 A′ B′ ?A ?B ?AB 用力法解此問題，選取基本結(jié)構(gòu)如圖。 P t1 t2 X1 X2 X3 多余未知力為 X X2。 力法典型方程為 ?11X1+?12X2+ △ 1P+ △ 1t+ △ 1△ =?A ?21X1+?22X2+ △ 2P+ △ 2t +△ 2△ =?B 為計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)，作 、 、 MP圖。 1M圖 1 2M圖 1 MP圖 XA XB ? 由圖乘法算出： ， ， ?AB 由圖知 這里， ?AB稱為弦轉(zhuǎn)角，順時(shí)針為 正。 △ 1t、 △ 2t 由第七章公式計(jì)算。 返 回 47 將以上系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程，可解得 X1= X2= 令 稱為桿件的 線剛度 。此外，用 MAB代替 X1，用 MBA代替 X2，上式可寫成 MAB= 4i?A+2i ?B－ MBA= 4i ?B +2i ?A－ (2— 1） 式中 (2— 2） 是此兩端固定的梁在荷載、溫度變化等外因作用下的桿端彎矩，稱為 固 端彎矩 。 返 回 48 MAB= 4i?A+2i?B __ MBA= 4i?B +2i?A__ (2— 1） 式 (2— 1）是 兩端固定的等截面梁的桿端彎矩的一般公式，通常 稱為 轉(zhuǎn)角位移方程 。 對于一端固定另一端簡支的等截面梁 (見圖 )， 其 轉(zhuǎn)角位移方程 可由 式 (2— 1）導(dǎo)出，設(shè) B端為鉸支，則因 A B EI P t1 t2 l MBA= 4i ?B +2i ?A__ =0 可見， ?B可表示為 ?A、△ AB的函數(shù)。將 此式代入式 (2— 1)第一式，得 MAB=3i?A (2— 3）（ 轉(zhuǎn)角位移方程 ） 式中 （ 2— 4）（ 固端彎矩 ） 桿端彎矩求出后，桿端剪力便不難由平衡條件求出。 有 返 回 49 167。 2— 3 位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu) 在位移法中，基本未知量是各結(jié)點(diǎn)的角位移和線位移。計(jì) 算時(shí)，應(yīng)首先確定獨(dú)立的角位移和線位移數(shù)目。 (1) 獨(dú)立角位移數(shù)目的確定 由于在同一結(jié)點(diǎn)處，各桿端的轉(zhuǎn)角都是相等的，因此每一個(gè) 剛結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)獨(dú)立的角位移未知量。在固定支座處，其轉(zhuǎn)角等 于零為已知量。至于鉸結(jié)點(diǎn)或鉸支座處各桿端的轉(zhuǎn)角，由上節(jié)可 知，它們不是獨(dú)立的，可不作為基本未知量。 這樣， 結(jié)構(gòu)獨(dú)立角位移數(shù)目就等于結(jié)構(gòu)剛結(jié)點(diǎn)的數(shù)目 。 例如圖示剛架 1 2 3 4 5 6 獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)角位移 數(shù)目為 2。 返 回 50 (2)獨(dú)立線位移數(shù)目的確定 在一般情況下，每個(gè)結(jié)點(diǎn)均可能有水平和豎向兩個(gè)線位移。 但通常