【文章內(nèi)容簡介】 組合形式： 一階 RK公式，歐拉公式 改進歐拉公式 特點： 1）單步法； 2）同樣精度， RK4的 h比RK2的 h大十倍，而計算量僅大一倍，常用 RK4 多變量形式 例：已知系統(tǒng)方程為： 解：原系統(tǒng)方程可化為下列方程組， 常用的幾種數(shù)值積分方法 單步法 歐拉法：精度差 數(shù)值積分方法 多步法： 改進的歐拉法：精度提高，速度快 Adams法 Adams隱式公式 龍格 庫塔法：精度高，常用 Adams顯式公式 預(yù)估 校正法 計算量小 誤差、收斂性與穩(wěn)定性分析 1. 誤差：截斷誤差與舍入誤差 2. 收斂性： 3. 穩(wěn)定性： 采用數(shù)值積分方法進行仿真時常常會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象： 本來是穩(wěn)定的系統(tǒng)，仿真結(jié)果卻得出丌穩(wěn)定的結(jié)論。這種現(xiàn)象是由于計算步長太大造成的，因為，當(dāng)步長 h選得過大時，計算誤差較大，數(shù)值積分方法會使誤差傳播，以致引起計算丌穩(wěn)定。 因穩(wěn)定性不步長有密切關(guān)系，故在處理實際問題時，可用兩個顯著丌同的步長進行計算，若所得結(jié)果基本相同，則一般是穩(wěn)定的；反之，則很可能丌穩(wěn)定； 數(shù)值積分方法的選擇 1. 精度要求： a. 步長確定時，算法階次越高，截斷誤差越小。 b. 階次確定時，多步法 單步法，隱式 顯式 2. 計算速度： 同步長， RK4比 4階 Adams預(yù)估校正法慢。 3. 數(shù)值解的穩(wěn)定性： 小于 4階時，隱式 AdamsRK4顯式 Adams 步長控制 1. 經(jīng)驗公式 2. 變步長計算公式 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真方法 基于數(shù)值 積分方法 面向方程 連續(xù)系統(tǒng) 數(shù)字仿真方法 基于離 散化方法 面向方程結(jié)構(gòu)圖： 微分方程 傳遞函數(shù) 狀態(tài)模型 傳遞函數(shù) +非線性環(huán)節(jié) 面向方程 面向方程結(jié)構(gòu)圖： 傳遞函數(shù) +非線性環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) 狀態(tài)模型 離散相似法 基本原理： 將一個連續(xù)系統(tǒng)進行離散化處理，然后求得等價的離散模型。 傳遞函數(shù) 狀態(tài)方程 Z域離散相似模型 時域離散相似模型 傳遞函數(shù) Z域離散相似模型 狀態(tài)方程 時域離散相似模型 圖斯汀置換法：傳遞函數(shù) Z域離散相似模型 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真方法 基于數(shù)值 積分方法 面向方程 連續(xù)系統(tǒng) 數(shù)字仿真方法 基于離 散化方法 面向方程結(jié)構(gòu)圖： 微分方程 傳遞函數(shù) 狀態(tài)模型 傳遞函數(shù) +非線性環(huán)節(jié) 面向方程 面向方程結(jié)構(gòu)圖： 傳遞函數(shù) +非線性環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) 狀態(tài)模型 RK法 Adams法 離散相似法 置換法 仿真算法的選擇與比較 1 4 過零的產(chǎn)生 在動態(tài)系統(tǒng)的仿真過程中 ， 所謂過零 ， 是指系統(tǒng)模型中的信號或系統(tǒng)模塊特征的某種改變 。 這種特征改變包括以下兩種情況： (1) 信號在上一個仿真時間步長之內(nèi)改變了符號 。 (2) 系統(tǒng)模塊在上一個仿真時間步長改變了模式 （ 如積分器進入了飽和區(qū)段 ） 。 事件通知 在動態(tài)系統(tǒng)仿真中，采用變步長求解器可以使Simulink正確地檢測到系統(tǒng)模塊與信號中過零事件的發(fā)生。當(dāng)一個模塊通過 Simulink仿真環(huán)境通知求解器，在系統(tǒng)前一仿真步長時間內(nèi)發(fā)生了過零事件，變步長求解器就會縮小仿真步長，即使求解誤差滿足絕對誤差和相對誤差的上限要求?？s小仿真步長的目的是判定事件發(fā)生的準(zhǔn)確時間（也就是過零事件發(fā)生的準(zhǔn)確時刻）。 支持過零的模塊 在 Simulink的模塊庫中，并非所有的模塊都能夠產(chǎn)生過零事件。 嘿！等 等 ? 我這里發(fā)生了一個事件沒問題，回頭告訴我謝謝！讓我回頭查查看何時發(fā)生的求解器 系統(tǒng)模型求解器 系統(tǒng)模型求解器 系統(tǒng)模型圖 4 系統(tǒng)模型與求解器之間的交互作用示意圖 對于其它的許多模塊而言 ， 它們不具有過零檢測的能力 。 如果需要對這些模塊進行過零檢測 ， 則可以使用信號與系統(tǒng)庫 （ Signals amp。 Systems） 中的 Hit Crossing零交叉模塊來實現(xiàn) 。 當(dāng) Hit Crossing模塊的輸入穿過某一偏移值 （ offset） 時會產(chǎn)生一個過零事件 ， 所以它可以用來為不帶過零能力的模塊提供過零檢測的能力 。 一般而言，系統(tǒng)模型中模塊過零的作用有兩種類型：一是用來通知求解器，系統(tǒng)的運行模式是否發(fā)生了改變，也就是系統(tǒng)的動態(tài)特性是否發(fā)生改變；二是驅(qū)動系統(tǒng)模型中其它模塊。過零信號包含三種類型：上升沿、下降沿、雙邊沿，如圖 5所示。 上升沿 下降沿 雙邊沿 0 F F R R 信號過零類型 , 其中F 表示下降沿、 R 表示上升沿 圖 5 過零信號的類型 下面分別對這三種類型進行簡單的介紹 。 (1) 上升沿：系統(tǒng)中的信號上升到零或穿過零 ， 或者是信號由零變?yōu)檎?。 (2) 下降沿：系統(tǒng)中的信號下降到零或穿過零，或者是信號由零變?yōu)樨?fù)。 (3) 雙邊沿：任何信號的上升或下降沿的發(fā)生 。 過零的舉例 ——過零的產(chǎn)生與關(guān)閉過零 1. 過零點的產(chǎn)生 【 例 1】 過零的產(chǎn)生與影響 。 這里以一個很簡單的例子來說明系統(tǒng)中過零的概念以及它對系統(tǒng)仿真所造成的影響 。 在這個例子中 ， 采用 Functions amp。 Tables函數(shù)與表庫中的 Function函數(shù)模塊和 Math數(shù)學(xué)庫中的 Abs絕對值模塊分別計算對應(yīng)輸入的絕對值 。 我們知道 ， Function模塊不會產(chǎn)生過零事件 ，所以在求取絕對值時 ， 一些拐角點被漏掉了；但是 Abs模塊能夠產(chǎn)生過零事件 ， 所以每當(dāng)它的輸入信號改變符號時 ， 它都能夠精確地得到零點結(jié)果 。 圖 6所示為此系統(tǒng)的 Simulink模型以及系統(tǒng)仿真結(jié)果 。 帶有過零檢測的能力 不帶有過零檢測 圖 6 過零產(chǎn)生的影響 從仿真的結(jié)果中可以明顯地看出 ， 對于不帶有過零檢測的 Function函數(shù)模塊 ， 在求取輸入信號的絕對值時 ，漏掉了信號的過零點 （ 即結(jié)果中的拐角點 ） ；而對于具有過零檢測能力的 Abs求取絕對值模塊 ， 它可以使仿真在過零點處的仿真步長足夠小 ， 從而可以獲得精確的結(jié)果 。 為說明這一點 ， 在 MATLAB命令窗口中輸入如下語句： semilogy(tout(1:end–1,diff(tout)) % 繪制系統(tǒng)仿真時刻的一階差分 （ 即系統(tǒng)仿真步長 ） ， 如圖 7所示 ， 其中常規(guī)步長為 s， % 當(dāng)發(fā)生過零的情況時 ， 系統(tǒng)仿真步長自動縮小至約 s 圖 7 系統(tǒng)仿真中過零處步長變化 2. 關(guān)閉過零 【 例 2】 過零的關(guān)閉與影響 。 在 【 例 1】 中，過零表示系統(tǒng)中信號穿過了零點。其實，過零不僅用來表示信號穿過了零點，還可以用來表示信號的陡沿和飽