【文章內(nèi)容簡介】 八人 ) 4次國際大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與 槳 手數(shù)有某種關系 . 試建立數(shù)學模型揭示這種關系 . 問題 準備 調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量 l /b, w0/n 基本不變 問題分析 ? 前進阻力 ~ 浸沒部分與水的摩擦力 ? 前進動力 ~ 槳手的劃槳功率 分析賽艇速度與槳手數(shù)量之間的關系 賽艇速度由前進動力和前進阻力決定 : 劃槳 功率 賽艇 速度 賽艇 速度 前進 動力 前進 阻力 漿手數(shù)量 艇 重 浸沒 面積 ? 對槳手體重、功率、阻力與艇速的關系等作出假定 . ? 運用合適的物理定律建立模型 . 模型假設 1）艇形狀相同 (l/b為常數(shù) ), w0與 n成正比 2） v是常數(shù)，阻力 f與 sv2成正比 符號：艇速 v, 浸沒面積 s, 浸沒體積 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 槳手數(shù) n, 槳手功率 p, 槳手體重 w, 艇重 W. 艇的靜態(tài)特性 艇的動態(tài)特性 3） w相同， p不變， p與 w成正比 槳手的特征 模型建立 f sv2, ? p w ? v (n/s)1/3 ?s1/2 A1/3, ? A W(=w0+nw) n ? ? s n2/3 ?v n1/9 ? 比賽成績 t n – 1/9 ?np fv, ?模型檢驗 n t 1 2 4 8 bant ? ?? ntnbat l o gl o g ???線性最小二乘法 利用 4次國際大賽冠軍的平均成績對模型 t n – 1/ 9 進行檢驗 . ?t n 1 2 4 8 ? ? ? ? 與模型吻合！ 劃艇比賽的成績 ? 對實際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問題 . ? 利用物理基本知識分析問題 . ? 模型假設比較粗糙 . ? 利用合適的物理定律及簡單的比例方法建模 (只考慮各種艇的相對速度 ). ? 模型結(jié)果與實際數(shù)據(jù)十分吻合 (巧合！ ) 動物的身長和體重 背景與問題 ? 研究四足動物軀干的長度與體重的關系 . ? 家畜收購站 (屠宰場 ) 希望從軀干長度估計體重 . ? 不陷入各種動物生理結(jié)構(gòu)的研究 . 問題分析 ? 將動物軀干 類比 為圓柱形的彈性梁 ， 四肢為支架 ， 借助彈性力學的已有結(jié)果進行分析 . 假 設 與 建 模 1. 軀干為圓柱體，長度 l, 直徑 d, 斷面面積 s. 2. 圓柱體為彈性梁，四肢為支架 . 3. 動物在自身體重 f 作用下，軀干最大下垂為 b (梁的最大彎曲 ). 4. 彈性力學的已有結(jié)果： d l b f 23sdflb ? 5. 由 f ? sl ,得 23dllb ? b/l是動物軀干的相對下垂度 . 在長期進化過程中每種動物的 b/l 已經(jīng)達到最合適的數(shù)值，即 b/l=常數(shù) (與動物尺寸無關 ). ? b/l 太大，四肢無法支撐； ? b/l 太小，四肢的尺寸超過支撐軀干的需要，不合乎生物進化論 . 對于一種四足動物 (如生豬 )由統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定系數(shù) k . l3 ? d2 f ? sl, s ?d2, l3 ? d2 軀干的相對下垂度 b/l ?l 3/d2 d l b f 假設與建模 f ? l4 f =kl4 可以從軀干長度 l 估計動物體重 f . 動物的身長和體重 將動物軀干 類比 為彈性梁 ——充滿想像力的大膽假設 ! 把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為有確切研究成果的彈性梁在自重下的撓曲問題 . 類比法是數(shù)學建模的一種常用方法 . 問題 甲有物品 X, 乙有物品 Y, 雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實物交換方案 . y x p . 用 x,y分別表示甲 (乙 )占有X,Y的數(shù)量。設交換前甲占有 X的數(shù)量為 x0, 乙占有 Y的數(shù)量為 y0, 作圖： 若不考慮雙方對 X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點 p(x,y) 都是一種交換方案：甲占有 (x,y) ，乙占有 (x0 x, y0 y). x y yo 0 xo ? ? 實物交換 x y yo y1 y2 0 x1 x2 xo p1 p2 . . 甲的無差別曲線 分析與建模 如果甲占有 (x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度 ,即 p1, p2對甲是無差別的 . M N 將 所有與 p1, p2無差別的點連接起來 , 得到一條 無差別曲線 MN. 線上各點的滿意度相同 , 線的形狀反映對 X,Y的偏愛程度 . N1 M1 P3(x3,y3) . 比 MN各點滿意度更高的點如 p3，在另一條無差別曲線 M1N1上 , 于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條） . y?x?p1 . y?x?p2 . c1? y 0 x f(x,y)=c1 無差別曲線族的性質(zhì)： ? 單調(diào)減 (x增加 , y減小 ) ? 下凸 (凸向原點 ) ? 互不相交 在 p1點占有 x少、 y多，寧愿以較多的 ? y換取較少的 ? x。 在 p2點占有 y少、 x多，就要以較多的 ? x換取較少的 ? y. 甲的無差別曲線族記作 f(x,y)=c1 c1~滿意度 （ f ~等滿意度曲線） 甲的無差別曲線 x y O g(x,y)=c2 c2? 乙的無差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同） . 雙方的交換路徑 x y yo O xo f=c1 O39。 x39。 y39。 g=c2 乙的無差別曲線族 g=c2 (坐標系 x39。O39。y39。, 且反向） 甲的無差別曲線族 f=c1 A B p ? P39。 ? 雙方滿意的交換方案必在 AB（交換路徑）上 ! 因為在 AB外的任一點 p39。, (雙方 )滿意度低于 AB上的點 p. 兩族曲線切點連線記作 AB 分析與建模 A B 交換方案的進一步確定 交換方案 ~ 交換后甲的占有量 (x,y) 0?x?x0, 0?y?y0矩形內(nèi)任一點 交換路徑 AB 雙方的無差別曲線族 等價交換原則 X,Y用貨幣衡量其價值，設交換前 x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為 C D (x0,0), (0,y0) 兩點的連線 CD. AB與 CD的交點 p 設 X單價 a, Y單價 b, 則等價交換下 ax+by=s (s=ax0=by0) y yo 0 xo . . x p . 核軍備競賽 ? 冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全 , 實行“核威懾戰(zhàn)略” , 核軍備競賽不斷升級 . ? 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束 , 雙方通過了一系列核裁軍協(xié)議 . ? 在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張 , 而存在暫時的平衡狀態(tài) . ? 當一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導彈等措施時 , 平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化 . ? 估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量 ,這個數(shù)量受哪些因素影響 . 背景與問題 以雙方 (戰(zhàn)略 )核導彈數(shù)量描述核軍備的大小 . 假定雙方采取如下同樣的 核威懾戰(zhàn)略： ? 認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導彈攻擊己方的核導彈基地； ? 己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應保存足夠的核導彈，給對方重要目標以毀滅性的打擊 . 在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導彈只能攻擊對方的一個核導彈基地 . 摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定 . 模型假設 圖的模型 y=f(x)~甲有 x枚導彈 ,乙所需的最少導彈數(shù) (乙安全線 ) x=g(y)~乙有 y枚導彈 ,甲所需的最少導彈數(shù) (甲安全線 ) 當 x=0時 y=y0， y0~乙方的 威懾值 xyy ?? 0x y y0 0 xyxfyy ???? 00 )(y0~甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標所需導彈數(shù) . x1 x0 y1 P(xm,ym) x=g(y) x y 0 y0 y=f(x) y=f(x) 乙安全區(qū) 甲安全區(qū) 雙方 安全區(qū) P~平衡點 (雙方最少導彈數(shù) ) 乙安全線 分析模型 乙方 殘存率 s ~甲方一枚導彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率 . sx個基地未被摧毀， y–x個基地未被攻擊 . xy 甲方以 x枚導彈攻擊乙方 y個基地中的 x個 , y0=sx+y–x x=y y0=sy 乙的 x–y個基地被攻擊 2次 , s2(x–y)個未被摧毀 。 y –(x–y)=2y– x個被攻擊 1次 , s(2y– x )個未被摧毀 . y0= s2(x–y)+ s(2y– x ) x=2y y0=s2y yx2y xssss yy ????? 21)2( 0y= y0+(1s)x y=y0/s y=y0/s2 yxa sysyy/00 ?? a~交換比 (甲乙導彈數(shù)