回歸分析的性質(zhì)和基本概念(編輯修改稿)
2025-05-27 22:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 存在自然順序。如考試分?jǐn)?shù) (A、 B、 C)，無法相減或相除。如無差異曲線 (indifference curves)，每條更高的無差異曲線標(biāo)志著更高的效用水平，但不能量化到底高多少。 名義尺度（ nominal scale） 不具備比率尺度的任何特征。如性別 (男，女 )，婚姻狀況（已婚、未婚、離婚、分居）。適合于比率尺度的計量方法不適合于名義尺度。 1．總體回歸曲線 第四節(jié) 總體回歸函數(shù) 例 31 表中數(shù)據(jù)指的是一個假想的經(jīng)濟社會中，構(gòu)成總體的 60個家庭 及其周收入（ X）和周消費支出（ Y）的數(shù)量。這 60個家庭被 分成 10個收入組（從 80美元到 260美元），各組中每個家庭的月 支出都列在表中。因此，我們就有 10個固定的 X值和與每個 X相 對應(yīng)的 Y值，可以說，有 10個 Y的子總體。 每個收入組的周消費支出都有相當(dāng)大的變化，盡管如此，看平 均值，周消費支出隨著收入的上升而上升。 條件期望值 (conditional expected values) ：給定 X值下 Y的期望值。取決于條件變量 X的給定值。 注意區(qū)分條件期望 和無條件期望 ： 1. 問：一個家庭周消費支出的期望值是多少？ 答：如果我們將總體中所有 60個家庭的消費支出加總除以 60，得到 （ 7272/60）美元，這就是周消費支出的無條件均值或無條件期望值 。得到該數(shù)字并不關(guān)心各個家庭的收入水平。 2. 問：一個月收入為 140美元的家庭的周消費支出的期望值是多少？ 答： 101美元（條件均值）。 因此，對收入水平的了解能使我們更好的預(yù)測消費支出的均值，這可能正是回歸分析的本質(zhì)。 總體回歸線（ population regression line, PRL） 幾何意義上，總體回歸曲線就是解釋變量取給定值時因變量的條件均值或期望值的軌跡。 圖中的黑圓點表示了不同 X值下 Y的條件均值，將這些均值連起來，就得到所謂的總體回歸線或稱為總體回歸曲線。 如下圖： 現(xiàn)實中，一個總體可能有許多個家庭。圖中對于每個 X（收入水平）都有周消費支出 Y值的一個總體，假定這些 Y值均勻分布在其條件均值左右，并且回歸線穿過這些條件均值。 條件均值 2. 總體回歸函數(shù) 從上圖中我們清楚的看出，每個條件均值 是 的一個函數(shù) ，用符號表示： 該方程稱為 條件期望函數(shù) (conditional expectation function)或 總體回歸函數(shù)（ population regression function, PRF） 。它說明了 Y的均值或平均對應(yīng)值是怎樣隨 X而變化的。 采取什么函數(shù)形式？ 比如假定消費支出與收入有線性關(guān)系，假定 PRF是 的線性函數(shù)： 其中 β1 和 β2 為未知但固定的參數(shù)，稱為 回歸系數(shù) (regression coefficients). 該方程稱為 線性總體回歸函數(shù) 或簡稱 線性總體回歸。 這里所說的 線性回歸模型（ linear regression model） 和 通常意義下的線性函數(shù)不同，“線性”回歸指 參數(shù)是線性的 ， 即參數(shù)都只以它的 1 次方出現(xiàn)，解釋變量 X可以是線性的，也 可以不是線性的。 例如： 第二個式子代表了非線性回歸模型 (nonlinear regression model)。 第五節(jié) “線性”一詞的含義 01 lni i iY X u??? ? ? 12in? ， ， ，20 1 1 2 2i i i k k i iY X X X u? ? ? ?? ? ? ? ? ?12in? ， ， ，30 1 1 2 1 2 2/8i i i i k k i i iY X X X X X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ）12in? ， ， ，都是線性回歸模型。 都不是線性回歸模型。 201i i iY X u??? ? ? 12in? ， ， ，0 1 1 2 2lni i i k k i iY X X X u? ? ? ?? ? ? ? ? ?12in? ， ， ，20 1 0 1 221()i i i k k i iY X X X u? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?12in? ， ， ，習(xí)題 如下模型是線性回歸模型嗎？為什么是或為什么不是？ 對于參數(shù)線性、解釋變量非線性的回歸模型，只要稍作變換，就可 化為線性回歸模型的一般形式。 例如： 模型 20 1 1 2 2i i i k k i iY X X X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12in? ， ， ， 211iiXX?? 22iiXX??ki kiXX??令 ， ， ， ，可將模型化為 0 1 1 2 2i i i k k i iY X X X? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?12in? ， ， ，3．線性回歸模型的普遍性 例如，著名的 CobbDauglas生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)為冪函數(shù)形式， 著名的菲利普斯曲線（ Phillips curv
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