【文章內(nèi)容簡介】 2222 )( ? ????? BA0? ? Zkkt ?? )(?????? BA0? ? Zkkt ?? )(? 0V? ? Zkj kt ?? )2(? jV)(, tkj?2022年 5月 27日 機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室 21 小波變換 多分辨分析及其工程意義 基于多分辨分析逼近空間 和細(xì)節(jié)空間 的頻帶范圍。設(shè) 空間中信號 屬于子空間 ， 的頻譜 區(qū)間為 ,則 … … … … … … ? 小波變換的多分辨分析將信號 分解到互相銜接的頻帶 和 中。 ? 選定 或 子空間中的分解信號，相當(dāng)于獲得了濃縮的故障診斷信 息，具有理想的工程實用價值。 )(2 RL0V)(txjV jW)(?X)(tx ? ?? ,0? ?? ???? ,0 ,0)(| ),()( 20 ???? XRLtxV? ?? ?2/ ,0 ,0)(| ),()( 21 ??? ????? XRLtxV? ?? ????? ,2/ ,0)(| ),()( 21 ????? XRLtxW? ?? ?mm XRLtxV 2/ ,0 ,0)(| ),()( 2 ??? ?????? ?? ?12 2/ ,2/ ,0)(| ),()( ?? ???? mmm XRLtxW ????jV jW)(txjV jW2022年 5月 27日 機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室 22 小波變換 正交小波基的構(gòu)造與信息獨立化的提取 在機(jī)械動態(tài)分析與監(jiān)測診斷過程中，希望盡可能減少小波基的冗余性，期望小波函數(shù)線性獨立，即希望小波函數(shù)是一個 Riesz基。 由于正交性能夠保證獨立性，正交基是完備的內(nèi)積空間(Hilbert空間 )最理想的基函數(shù)，所以我們最感興趣于尋找小波函數(shù) 是正交基 。 定義 （正交小波） 定理 （ 標(biāo)準(zhǔn)正交基和尺度函數(shù) ） 定理 （由正交尺度基函數(shù)構(gòu)造出正交小波基函數(shù) ） ? ?kj , ?2022年 5月 27日 機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室 23 小波變換 正交小波基的構(gòu)造與信息獨立化的提取 從包容關(guān)系 ，有 ，所以 可以利用 子空間的尺度基函數(shù) 展開，展開系數(shù)為 。 由于 ，小波基函數(shù) ，這一包容關(guān)系表明 可以用 中的尺度基函數(shù) 展開，展開系數(shù)為 ，有雙尺度關(guān)系 () 10 VV ? ?)(0,0 t? 10 VV ?1V)()( 0,0 tt ?? ?)2(2)( 2/1,1 nttn ?? ??? ? Znnh ? 001 WVV ?? 100,0 )()( VWtt ??? ??)(t? 1V )2(2)( 2/1,1 nttn ?? ??? ? Znng ? ?????????????????????nnnnntgtntht)2(2)()2(2)(????2022年 5月 27日 機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室 24 小波變換 正交小波基的構(gòu)造與信息獨立化的提取 根據(jù)式 ()表示的雙尺度關(guān)系， 中的尺度函數(shù) 和 中的小波函數(shù) 均可由 中的尺度函數(shù) 給出。 設(shè) ，尺度函數(shù) 和小波函數(shù) 分別為 () () () jV )(tj?jW )(tj? 1?jV )(1 tj??)(t?0?j )(t?????01)(t?其它10 ??t???????011)(t?其它12/12/10????tt(d) t 1 0 φ(2t) 1/2 1 t 1 0 φ(2t1) 1/2 1 t 1 0 ψ(t) 1/2 1 1 t 1 0 φ(t) 1 (a) (b) (c) ?????????)12()2()()12()2()(tttttt??????2022年 5月 27日 機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室 25 小波變換 正交小波基的構(gòu)造與信息獨立化的提取 序列 , 稱為正交鏡像濾波器 (Quadrature Mirror Filters， QMF)，有 , 。 和 是 QMF的頻域形式。 由尺度函數(shù) 和小波函數(shù) 的正交性及雙尺度方程得 () () () 構(gòu)造正交小波時濾波器和必須滿足以上三個條件，它們分別來自尺度函數(shù)的正交性、小波函數(shù)的正交性以及尺度函數(shù)與小波函數(shù)之間的正交性。 ? ? Znnh ? ? ? Znng ? kjknjn hh ,22 ??? ?? 2?? nh )(?H )(?G)(t? )(t?1)()( 22 ??? ??? HH1)()( 22 ??? ??? GG0)()()()( ???? ?? ?????? GHGH2022年 5月 27日 機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室 26 小波變換 正交小波基的構(gòu)造與信息獨立化的提取 小波系數(shù) 與尺度系數(shù) 之間的關(guān)系 由式 ()和 ()，可得到 () 由上式及 ()可得到兩個濾波器系數(shù)之間的關(guān)系 () ? 比較最后兩個等式兩邊 的系數(shù)，可以得到 () 若 是實序列，共軛符號 省略。 ? ?Znnh ? )()( ??? ? ?? ?? HeG j?????????????????????????????????????????kkjkkkjkkkkjkkkkjkjegeheheheG???????2/1112/1)1(2/1)(2/12)1(2 )1(22)(kje ??????? kkk hg 11)1( Zk??ng nh2022年 5月 27日 機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室 27 小波變換 正交小波基的構(gòu)造與信息獨立化的提取 構(gòu)造滿足正交三條件的濾波器 和 方法 設(shè)計滿足式 ()的濾波器 ,再根據(jù)式 ()設(shè)計濾波器 。 由 得到 ，再由式 ()直接得到 。 ? S. G. Mallat基于 2p+1階多項式 樣條函數(shù)構(gòu)造出 () 由式 ()，有關(guān)系 ，可得到 根據(jù)式 ()和 ()，得到 。 () )(?H )(?G)(?H )(?G)(?H ? ? Znnh ? ? ? Znng ?