【文章內(nèi)容簡介】 04 kN/m k1 k2 m2 m1 注意： k k2及 k1 k1 k22的意義。 k k2是層間剛度。 k11是 1質(zhì)點產(chǎn)生單位位移（其它點不動）所需的水平力。 k12是 2質(zhì)點發(fā)生單位位移時在 1質(zhì)點處產(chǎn)生的水平力。 22 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 11 2 1 2 1 21122k k k k k k k km m m m m m???? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???注意：量綱的對應(yīng)，質(zhì)量 — t， 剛度 —— kN/m 求出： ω1= rad/s ， ω2= rad/s T1=2π/ω1= s , T2= s 注意 :建筑結(jié)構(gòu)自振周期的范圍 . 將 ω代回方程可求出振型。 21 1112 111 121mkxxk? ???22 2 2 1 1 12 1 1 211 . 7 1x m kxk? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 1 11 2 2 2 21212nnnn n nnX X XX X XX X X XX X X?????????? ????將振型寫成矩陣 1振型 0 ( ){ } [ ] { } ()0 ( ){ } [ ] { } ()TjkjTjkjjkx M x M j kjkx K x K j k???? ? ??????? ? ???振型的正交性分析 振型關(guān)于質(zhì)量矩陣正交 振型關(guān)于剛度矩陣正交 Mj 稱為廣義質(zhì)量 Kj 稱為廣義剛度 0 ( ){0 ( ){ } [} [ ]]{{}())}(TjTjkkjjjkjkx K xx M xM j kK j k???????? ????????以兩自由度例題為例： ? ? ? ?1 1 2 1 41 2 2 20 . 4 8 8 1 . 7 1 6 0 0 8 3, , , 1 01 1 0 5 0 3 3xx mk ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?121200TTx m xx k x??當 j≠k時 當 j=k=1時 ? ? ? ? ? ? ? ?116 0 0 0 .4 8 80 .4 8 8 10 5 0 16 4 .3Tx m x? ? ? ?? ????? ? ? ?? 稱為廣義質(zhì)量 當 j=k=1時 ? ? ? ? ? ? ? ? 41148 3 0 . 4 8 80 . 4 8 8 1 1 03 3 11 . 9 7 7 1 0Tx k x?? ? ? ??? ?????? ? ? ??? 稱為廣義剛度 利用振型正交性的原理可以使微分方程組的求解大大的簡化 1 1 1 2 11211 2 1 2 2 1 2 2 1 12 2 2 12 1 2 1[ ] { ( ) } [ ] { ( ) } [ ] { ( ) } [ ] { } ( )0[ ] , [ ] , [ ] [ ] [ ]02 ( ) 2 ( ),gnnn nnM x t c x t k x t M I x tk k kmmM k c M km kk??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??????????? ? ???? ? ?? ? ? ??? ? ??? ???? ? ? ? ?????????考察方程及振型的正交性，是否能利用正交性將方程組簡化為 n個獨立的微分方程？ 1 2 1 2 2 1 2 2 1 12 2 2 12111 1 2221111[ ] { ( ) } [ ] { ( ) } [ ] { ( ) } [ ] { } ( )0[ ] , , [ ] [ ] [ ]2 ( ) 2 (],[)0gnn n nnM x t c x t k x t M I x tk k kmmMkm kkc M k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???????? ??? ? ???? ?????????? ?? ? ???? ? ? ?????振型分解（疊加）原理 多自由度線性體系的振動位移 x（ t）可以表示為各振型下位移反應(yīng)的疊加（線性組合）。 0 ( ){ } [ ] { } ()0 ( ){ } [ ] { } ()TjkjTjkjjkx M x M j kjkx K x K j k???? ? ??????? ? ???0 ( ){ } [ ] { }()0 ( ){ } [ ] { }()TjkjTjkjjkx M xM j kjkx K xK j k???? ???????? ???? 按照振型疊加原理，彈性結(jié)構(gòu)體系，每一個質(zhì)點在振動過程中的位移等于各振型的線性組合： 1( ) ( )ni j i jjx t X q t?? ?3 ( )2 ( )1 ( )1213111 (t)2122232 (t)3132333+ + ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 2 1 2x t q t X q t X??以兩質(zhì)點為例： 第 1質(zhì)點的位移 1質(zhì)點 1振型 1質(zhì)點 2振型 第 2質(zhì)點的位移 ? ? ? ? ? ?2 1 1 2 2 2 2x t q t X q t X??2質(zhì)點 1振型 2質(zhì)點 2振型 寫成一般形式： ? ?? ? ? ? ? ?? ?x t X q t? 振型矩陣 進一步有： ? ?? ? ? ? ? ?? ?x t X q t? ? ?? ? ? ? ? ?? ?x t X q t?振型矩陣： ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 1 11 2 2 2 21212nnnn n nnX X XX X XX X X XX X X?????????? ????三、多自由度體系振動微分方程求解（振型分解法） 在具有振型正交性的概念后，可用振型分解法來解多自由度體系振動微分方程。 1 1 1 2 11211 2 1 2 2 1 2 2 1 12 2 2 12 1 2 10[ ] , [ ] , [ ] [ ] [ ]02 ( ) 2 ( ),[ ] { ( ) } [ ] { ( ) } [ ] { ( ) } [ ] { } ( )nn nngnM x tk k kmmM k c M kmcxkt k x t M I x tk??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???????? ??? ? ???? ? ?? ? ? ??? ? ???? ? ? ?????????????? ?? ? ? ? ? ?? ?x t X q t?? ?? ? ? ? ? ?? ?x t X q t?? ?? ? ? ? ? ?? ?x t X q t?引入坐標變換： 代回方程得 ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 1121 2 1 2 2 1 2 2 1 12112 2 12 1 2[ ] [ ]2([ ] { ( ) } [ ] { ( ) } [ ] { ( ) } [ ] { } ( )0[ ] , [ ] , [ ]0) 2 ( ),gnn n nnM X q t c X q t k X q t M I x tk k kmmM k cm kkMk??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???????? ??? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ???????? ?? 為了利用振型的正交性，在方程的兩邊左乘一個 ? ?TX? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 1 1 2 11211 2 1 2 2 1 2 2 1 12 2 2 12 1 2 10[ ] { ( ) } [ ][ ] , [ ] , [ ] [ ] [ ]02 ( ) 2 ( ),{ ( ) } [ ] { ( ) }[ ] { } ( )nnnTnTnTTgX M X q t X c X q t X k X q tXk k kmmM k c M kmxkMIkt??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???????? ??? ? ???? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ?????????????根據(jù)振型的正交性有： 0 ( ){ } [ ] { } ()0 ( ){ } [ ] { } ()TjkjTjkjjkX M X M j kjkx K x K j k???? ? ??????? ? ???0 ( ){ } [ ] { }()0 ( ){ } [ ] { }()TjkjTjkjjkx M xM j kjkX K XK j k???? ???????? ????? ? ? ?0(0 ( )[]()){ } [ ] { }()TjTjjkjkjjkX c Xjkx M xkKkMjMj?????? ???????? ?????假定： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 2 11211 2 1 2 2 1 2 2 1 12 2 2 12 1 2 10[ ] [ ] [ ][ ] { } ([ ] , [ ] , [ ] [ ] [ ]02 ( ) 2 ( )1~,)T T Tj j jj j j j j jnnTgn nnjX M X q X c X q X k X qX M Ik k kmmM k c Mkxjkktnm??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???????? ??? ? ???? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ??????????????得到如下 q的 n個獨立方程： 當 和 的角標不同時，方程的左邊為 0。 ? ?TjX ? ?TkX方程的兩邊除以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 2 1111 2 1 2 2 1 2 2 1 12 2 2 121221[ ] [ ] [ ][ ] { } ( ) 1 ~0, [ ] [ ] [ ]2 ( ) 2 ( ),[ ] , [ ]0T T Tj j jj j j j j jnn nnTgjnX M X q X c X q X k X qX M I x t j nm mMk k kc M kkkm k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???????????? ? ?????????? ? ???????? ? ?? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?1 1 1 2 111 2 1 2 2 1 2 2212212[ ] [ ][ ] [ ][ ] { }( ) 1 ~[]0[ ]