開集與閉集ppt課件(編輯修改稿)
2025-05-26 01:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 合，如： E=[0,1) A B b. 任意一族開集的并是開集 證明 .)( 是開集是一族開集，下證設(shè) ??? ? GGIG I??? ?.,),(,000110為開集的任意性知的內(nèi)點，由是的領(lǐng)域為開集，故存在已知，使則非空，任取設(shè)GxGxGGxGGxIGxG????????????c. 有限多個開集的交仍是開集 證明 ..),2,1(,1 iiiniGxGxniGGG ?????則任取為開集設(shè) ??.),(),(,m i n,m a x,),(11 iiiiniiniiiiiGxGxG????????????????????則取的領(lǐng)域為開集，故存在因..),(1的內(nèi)點是因此所以 GxGGx ini???????⑷ 閉集的性質(zhì) ， Rn為閉集； 閉集之 交 仍為閉集； 閉集之 并 仍為閉集。 注：無限多個閉集的并不一定為閉集，如： En=[0,11/n] (5) HeineBorel有限覆蓋定理 設(shè) F為有界閉集，若開集簇 覆蓋 F（ 即 ）， 則 中存在 有限個 開集 N1 ， N2， … ,N n，它同樣覆蓋 F .),(,),(, 0iNxOFxO ???? ??? 都有使先證明}:{ IiN i ???iIi NF ???}:{ IiN i ?證明 .)n1,(,n1,的開領(lǐng)域中不包含在任何屬于使因而必有都有若不然，對??nnxOFxn ???.}{.}{.}{00出現(xiàn)無限多次素，則至少有一點只有有限多個不同的元若，則有聚點有無限多個不同的元素若有界有界，則由于xxxxFxFnnn ?.,},{}{00FxFxxxxii nnn??是閉集，故又使的一個子序列因此總有).,(),(,0),(.0000??????yNxNyNNNxNF???????使則有設(shè)，因此有覆蓋而..),(),()1,(,21,2),(,0000的定義矛盾這與于是充分大，使取由iiiininininxyNxNnxOnxxnxx???????????????..2?小于塊中任意兩點的距離都有限多個小塊，使每一分成面的超平面將有界，用平行于坐標(biāo)平因為 FF.),(),(,21iiiiiimNxNNxNxFFFF?? ??? 使則有作中任取一點，在每一，設(shè)這些小塊是 ?..,1121imiimimNFFNNN???? ???顯然的有限多個開領(lǐng)域于是得出屬于 ?例 3：設(shè) F為 R1中的有界閉集， G為開集且 則存在 δ0，使得當(dāng) |x| δ時 ，有 證明：對任意的 y∈ F，由于 y∈
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