尺度空間ppt課件(編輯修改稿)
2025-05-25 23:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 + c 由規(guī)則性假設(shè)和再由平移不變性由上面三個(gè)式子得 F( A,p,x,c,t ) = F( A,p,0,c,t ) ■定義 9：尺度空間滿足 歐氏不變性 （ Euclidean invariant），如果對(duì)于任意一個(gè)保距變換 R，有 RTt+h,t= Tt+h,tR其中 Ru(x) = u(Rx) = u 。 R(x)。保距變換 R可以表示為 Rx = Rx + y其中 R是一個(gè)矩陣， y為一個(gè)平移量。在平移不變的情況下，只需要考慮 Rx = Rx。下面不區(qū)分 R與 R。定理 4：如果一個(gè) 灰度平移不變 和因果的尺度空間是歐氏不變的，則它的相關(guān)函數(shù) F滿足： 任取 R， F( RART,Rp,t ) = F(A,p,t)證明 ：因?yàn)闅W氏不變，所以肯定是平移不變的，由定理 2知， F與常數(shù) c無關(guān)，再由定理 3知， F與 x無關(guān)。根據(jù)二元函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)揭?guī)則，有 D2(u 。 R) = RTD2(u 。 R)R D(u 。 R) = RT D(u 。 R)已知 Tt+h,tR = RTt+h,t，把這一關(guān)系應(yīng)用于二次式 u(y) = 1/2 A(yx),yx + p,yx + u(x)并令 D2u(x) = A， Du = p，則 Tt+h,t(Ru) = R(Tt+h,tu)即 Tt+h,t(u 。 R) = (Tt+h,tu) 。 R對(duì)上式求 h = 0處的偏導(dǎo)，得根據(jù)定義 5和上面的鏈?zhǔn)揭?guī)則 ,于是 F( RTD2(u 。 R)R ,RTD(u 。 R),t) = F(D2u,Du,t) 。 R即 F( RTAR,RTp,t ) = F(A,p,t)將 R換成 RT就得到結(jié)論。 ■ 對(duì)比不變性公理定義 10：一個(gè)遞增函數(shù) g:[0,1]→[0,1] 被稱為是 對(duì)比變換 。尺度空間是對(duì)比不變的，如果對(duì)于任意對(duì)比變換 g，滿足 g 。 Tt+h,t = Tt+h,t。 g定理 5：如果一個(gè)因果的尺度空間是對(duì)比不變的，則其相關(guān)函數(shù) F滿足對(duì)于一個(gè)確定的 x F( mA+lp?p, mp,x,c) = mF(A,p,x,t)如果同時(shí)尺度空間又是平移不變的，那么 F( mA+lp?p, mp,x,c) = mF(A,p,t)其中 l, m為任意實(shí)數(shù)， A為任意對(duì)稱矩陣， p為任意二維向量， p?p表示張量積， p是列向量，即 p?p = ppT是一個(gè) 2 2的矩陣。證明 ：如果取 g(0) = 0， g(s) = s+C，可以看出，對(duì)比不變隱含說明灰度平移不變，所以只需令對(duì)比變換 g(s)=s+C就可以了。由定理 2， F與 c無關(guān)，根據(jù)對(duì)比不變性 Tt+h,t。 g = g 。 Tt+h,t將其應(yīng)用滿足 A = D2u(x),p = Du(x)的二次式 u得到 Tt+h,t(g 。 u) = g 。 (Tt+h,tu)對(duì)上式兩邊求 h = 0處偏導(dǎo)，得再由規(guī)則性，得 F( D2(g(u)), D(g(u)), x,t ) = g′(u) F( D2u,Du,x,t )由鏈?zhǔn)焦? D2( g(u) ) = g′(u) D2u + g″(u) Du?Du D( g(u) ) = g′(u) Du又考慮到 Du(x) = p, D2u(x) = A同時(shí) g′(u),g″(u)取為 m， l，就得到結(jié)論。 ■ 伸縮不變性公理和仿射不變性公理定義 11：稱尺度空間是 伸縮不變 的（ scale invariant），如果存在一個(gè)重整尺度函數(shù)t′(t,l) ，并定義對(duì)于所有的 l﹥ 0,t≥0滿足 HlTt′,s′ = Tt,sHl *其中，把 t′(t,l), s′(s,l)簡記為 t′,s′。同時(shí)， t′(t,l)在 l=1處對(duì) l是可微的，并且是連續(xù)的、正的。事實(shí)上，由 *可以推出 HlTt′ = TtHl用 lx表示對(duì)坐標(biāo)的一個(gè)縮放， Hlu表現(xiàn)圖像 u的一個(gè)縮放。定義仿射不變性：仿射變換 B的定義， Bx是一個(gè) 2維的點(diǎn)。定義 Bu為 Bu(x) = u(B1x) 或 Bu(Bx) = u(x) 任意一個(gè)仿射變換都可以分解為一個(gè)矩陣乘法和一個(gè)平移，即 Bx = Bx + y定義 12：稱縮放不變的尺度空間是 仿射不變 的（ affine invariant），如果在重整尺度 t′(t,B)，并且對(duì)所有的 t0和所有滿秩的仿射變換 B滿足 BTt′,s′ = Tt,sB, ? B， s﹥ t﹥ 0其中記 t′= t′(t,B), s′= s′(t,B) 。定理 6：（尺度的規(guī)范化）（ i）假設(shè)映射 t→T t是一一映射并且是縮放不變的， Tt是作用在圖像空間上的算子族，且滿足 T0=id，則存在一遞增可微的重整尺度函數(shù) s:[0, ∞)→ [0, ∞) ，滿足
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