【文章內(nèi)容簡介】 部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小（ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個（ⅲ）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而 （ⅳ）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側(cè)的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值5. 求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根(3)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么f(x)在這個根處無極值 如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導，也需要考慮這些點是否是極值點 四、鞏固練習：1．求下列函數(shù)的極值.(1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=.當x變化時，y′，y的變化情況如下表.－0+↘極小值↗∴當x=時，y有極小值，且y極小值=－.(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)令y′=0，解得x1=－3，x2=3.當x變化時，y′，y的變化情況如下表.3(3,3)3+0－0+↗極大值54↘極小值54↗∴當x=－3時，y有極大值，且y極大值=54.當x=3時，y有極小值，且y極小值=－54五、教學反思 ：函數(shù)的極大、(x)，在整個定義區(qū)間可能有多個極值，但導數(shù)為零的點不一定是極值點， 167。（?。┲蹬c導數(shù)（2課時）教學目標：⒈使學生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可導函數(shù)在閉區(qū)間上所有點（包括端點）處的函數(shù)中的最大（或最?。┲当赜械某浞謼l件；⒉使學生掌握用導數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟 教學重點：利用導數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法．教學難點：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系．教學過程：一．創(chuàng)設(shè)情景我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)．也就是說，如果是函數(shù)的極大（小）值點，那么在點附近找不到比更大（小）的值．但是，在解決實際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時，我們更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個至最大，哪個值最小．如果是函數(shù)的最大（?。┲担敲床恍。ù螅┯诤瘮?shù)在相應(yīng)區(qū)間上的所有函數(shù)值．二．新課講授觀察圖中一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象．圖中與是極小值，是極大值．函數(shù)在上的最大值是，最小值是．1．結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值．說明：⑴如果在某一區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱函數(shù)在這個區(qū)間上連續(xù)．（可以不給學生講）⑵給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；⑶在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間斷，⑷函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（可以不給學生講）2．“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系⑴最值”是整體概念，是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點附近函數(shù)值得出的，具有相對性．⑵從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；⑶函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個⑷極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．3．利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求在內(nèi)的極值；⑵將的各極值與端點處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數(shù)在上的最值三．典例分析例1．（課本例5）求在的最大值與最小值 解： 由例4可知，在上，當時，有極小值，并且極小值為，又由于，因此，函數(shù)在的最大值是4，最小值是．上述結(jié)論可以從函數(shù)在上的圖象得到直觀驗證．例2．求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值解：先求導數(shù)，得令＝0即解得導數(shù)的正負以及，如下表X2（2,1）1（1,0）0（0,1）1（1,2）2y/－0＋0－0＋y13↘4↗5↘4↗13從上表知，當時，函數(shù)有最大值13，當時，函數(shù)有最小值4 例3．已知,∈(0,+∞).是否存在實數(shù),使同時滿足下列兩個條件：（1）)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù)；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，說明理由.解：設(shè)g(x)=∵f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù)∴g(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù).∴ ∴ 解得經(jīng)檢驗，a=1,b=1時，f(x)滿足題設(shè)的兩個條件.四．課堂練習1．下列說法正確的是( ) 2．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f′(x) ( ) 3．函數(shù)y=，在［－1，1］上的最小值為( ) B.－2 C.－1 D.4．求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．5．課本練習五．回顧總結(jié)1．函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：導數(shù)等于零的點，導數(shù)不存在的點，區(qū)間端點；2．函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；3．閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間內(nèi)的可導函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值 4．利用導數(shù)求函數(shù)的最值方法．六．教后反思：167。（2課時）教學目標：1． 使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用2． 提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力教學重點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．教學難點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．教學過程：一．創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題．二．新課講授導數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：與幾何有關(guān)的最值問題；與物理學有關(guān)的最值問題；與利潤及其成本有關(guān)的最值問題；效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數(shù)是一個有力的工具．利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學模型解決數(shù)學模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學問題優(yōu)化問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案三．典例分析例1．海報版面尺寸的設(shè)計 學校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進行宣傳。，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空心面積最?。? 解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時四周空白面積為 。 求導數(shù)，得。令，解得舍去）。于是寬為。當時，0；當時，0.因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。答：當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。例2．飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm問題：（１）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？　　 （２）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最??？解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是 令 解得 （舍去）當時，；當時，．當半徑時，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑時， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低．（1）半徑為cm 時，利潤最小，這時，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值．（2）半徑為cm時，利潤最大．換一個角度：如果我們不用導數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當時，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當時，利潤才為正值．當時，為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm 時，利潤最小．例3．磁盤的最大存儲量問題計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)。問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域．（1） 是不是越小，磁盤的存儲量越大？（2） 為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)每磁道的比特數(shù)。 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達。所以，磁盤總存儲量 （1）它是一個關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲量越大．（2）為求的最大值，計算．令，解得當時，；當時，．因此時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為例4．汽油的使用效率何時最高 我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)．根據(jù)你的生活經(jīng)驗，思考下面兩個問題：（1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含義是什么？分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）．這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問題． 通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系．從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題．因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題． 解：因為 這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求的最小值．從圖象上看，表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率．進一步發(fā)現(xiàn)，當直線與曲線相切時，其斜率最?。诖饲悬c處速度約為90．因此，當汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90．從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為 L．例5．在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？_x_x_60_60xx解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積 ． 令 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000由題意可知，當x過?。ń咏?）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16 000是最大值答：當x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長為(602x)cm，則得箱子容積．（后面同解法一，略）由題意可知，當x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處．事實上，可導函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值例6．圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的