品質(zhì)管理統(tǒng)計(jì)原理4(編輯修改稿)
2025-05-05 22:22 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 Probability Distribution) 以F(x)表示之，或機(jī)率密度函數(shù)(PDF, Probability Density Function)分別以p(x)離散型與f(x)連續(xù)型表示之。機(jī)率分佈之性質(zhì)X離散型： (1) 0 163。 p(xi) 163。1 所有xi值(2) P(X = xi) = p(xi) 所有xi值(3) S p(xi) = 1 所有xi值X連續(xù)型： (1) 0 163。 f(x) (2) P(a 163。 x 163。 b) =242。ba f(x)dx(3) 242。165。165。 f(x)dx = 1一個(gè)隨機(jī)變數(shù)X之累積機(jī)率分配函數(shù)F(x)定義為：F(x) = P(X 163。 x)F(x)表示隨機(jī)變數(shù)X之值小於或等於x的機(jī)率。x1 X 163。 x2時(shí) P(x1 X 163。 x2) = F(x2) F(x1)F(x)具有下列性質(zhì)(a) F(x)是遞增函數(shù)，即若a 163。 b，則F(a) 163。 F(b)(b) limx174。 165。F(x)=0, limx174。 165。F(x)=1(c) F(x)是右連續(xù)函數(shù)擲1骰子2次，令隨機(jī)變數(shù)X為2次點(diǎn)數(shù)之和x23456789101112p(x)1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36F(x)1/363/366/3610/3615/3621/3626/3630/3633/3635/361P(5 X 163。 9) = F(9) F(5) = 30/36 10/36 = 20/36母體分佈的特徵，由其期望值與變異數(shù)示之。一隨機(jī)變數(shù)的期望值E[X]，可用以表示機(jī)率分佈f(x)之集中趨勢(shì)，有時(shí)E[X]亦稱之為母體平均數(shù)，以m表示。而隨機(jī)變數(shù)的變異數(shù)，則為該隨機(jī)變數(shù)的所有可能發(fā)生結(jié)果與期望值間之離散程度，以s2x或Var[X]表示。機(jī)率分佈即表示母體分佈的情況，因此母體分佈的二重要特徵值：期望值與變異數(shù)，自然亦可由機(jī)率分佈函數(shù)來(lái)求得。平均值、變異數(shù)與期望值一個(gè)機(jī)率分佈的平均值是其集中趨勢(shì)。其定義為m = 242。165。165。 xf(x)dx 連續(xù)型m = S xp(x) (所有x值) 離散型亦可將平均值表示為隨機(jī)變數(shù)X的期望值(Expected Value)。其定義為m = E[X] = 242。165。165。 xf(x)dx 連續(xù)型m = E[X] = S xp(x) (所有x值) 離散型其中E代表為期望值運(yùn)算子(Expected Value Operator)。一個(gè)機(jī)率分配的變異數(shù)是其離散趨勢(shì)。其定義為s2 = 242。165。165。(xm)2 f(x)dx 連續(xù)型s2 = S (xm)2p(x) (所有x值) 離散型亦可將變異數(shù)以期望值表示。其定義為s2 = E[(xm)2] 另變異數(shù)的使用亦可定義為變異數(shù)運(yùn)算子(Variance Operator) Var表示 Var[X] = E[(xm)2]= s2 聯(lián)合機(jī)率密度與邊際機(jī)率密度(Joint Probability Density and Marginal Probability Density)在一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，常有兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變數(shù)時(shí)，考慮其聯(lián)合機(jī)率密度、邊際機(jī)率密度、與共變異數(shù)，以處理聯(lián)合機(jī)率問(wèn)題。兩個(gè)隨機(jī)變數(shù)X, Y，其同時(shí)發(fā)生的事件機(jī)率以函數(shù)f(x, y)表示，稱f(x, y)為X與Y之聯(lián)合機(jī)率密度函數(shù)。倘隨機(jī)變數(shù)X, Y為間斷型態(tài)，其邊際機(jī)率密度函數(shù)為：X的邊際機(jī)率密度函數(shù)f =Sy f(x, y) Y的邊際機(jī)率密度函數(shù)f =Sx f(x, y)X與Y為之聯(lián)合機(jī)率函數(shù)與邊際機(jī)率函數(shù)y1y2y3fxx1f(x1, y1)f(x1, y2)f(x1, y3)fx (x1)x2f(x2, y1)f(x2, y2)f(x2, y3)fx (x2)x3f(x3, y1)f(x3, y2)f(x3, y3)fx (x3)fyfy (y1)fy (y2)fy (y3)Si f x (x i)=1，Si f y (y i)=1範(fàn)例：隨機(jī)變數(shù)X與Y之聯(lián)合機(jī)率函數(shù)f(x,y)yx10203012試求隨機(jī)變數(shù)X與Y的邊際效率分配，並檢驗(yàn)隨機(jī)變數(shù)X和Y是否獨(dú)立。yx102030fx(x)12fy(y)1yx102030fx(x)1()()=()()=()()=2()()=()()=()()=fy(y)1由上表知，對(duì)於任何x與y，f(x, y) = f x(x)f y(y)皆成立，故此二隨機(jī)變數(shù)是相互獨(dú)立。變異數(shù)s2是用以衡量單個(gè)隨機(jī)變數(shù)的樣本相對(duì)期望值離散情況。而共變異數(shù)sXY (Covariance)則是衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變數(shù)X與Y單獨(dú)一方變動(dòng)時(shí)，對(duì)另一變數(shù)產(chǎn)生的相關(guān)影響之狀況。有關(guān)隨機(jī)變數(shù)X之平均值 m 與變異數(shù)s2與常數(shù)c，則(1) E[c] = c； (2) E[X] = m； (3) E[cX] = c E[X] = cm(5) Var[c] = 0；(5) Var[X] = s2= E[X2] m2；(6) Var[cX+b] = c2s2；(7) E[X1+X2] = E[X1]+E[X2] = m1+ m2(8) Var[X1+X2] = Var[X1] + Var[X2]+ 2Cov[X1, X2](9) Cov[aX1+b, cX2+d]= ac Cov[X1X2](10) Cov[X1, X2] = E[(X1m1)(X2m2)]=E[X1X2]E[X1]E[X2]為隨機(jī)變數(shù)X1與X2之共變異數(shù)(Covariance)。如X1與X2是獨(dú)立的，則Cov[X1, X2]= 0。(11) Var[X1X2] = Var[X1] Var[X2]+ 2Cov[X1, X2]倘X1與X2是獨(dú)立的，則(12) Var[X1X2] = Var[X1] + Var[X2]= s21+ s22(13) E[X1X2] = E[X1] E[X2] = m1 m2一般而言，X1與X2是否獨(dú)立(14) E[X1 / X2] 185。 E[X1] / E[X2]另共變異數(shù)易受單位的改變，形成判斷上的困擾，因而發(fā)展出相關(guān)係數(shù) r (Correlation Coefficient)，r = sXY/sXsY = Cov(X,Y)/ sXsY因此同一實(shí)驗(yàn)不論取用何種單位，相關(guān)係數(shù)r值不會(huì)改變，而且 1163。 r 163。 1。倘 r = 0，則稱隨機(jī)變數(shù)X與Y無(wú)關(guān)，反之，稱隨機(jī)變
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