【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 全等三角形周長(zhǎng)相等 [1].3．2證明全等三角形的步驟及注意事項(xiàng)如何學(xué)好全等三角形的證明呢？這就要小步走，勤思考，進(jìn)行由易到難的訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)由實(shí)（題目已有現(xiàn)成圖形）到虛（要自己畫圖形或需要添加輔助線）、： 第一步，學(xué)會(huì)解決只證一次全等的簡(jiǎn)單問題，使自己的證明語(yǔ)言準(zhǔn)確，格式標(biāo)準(zhǔn)，一定要寫出在哪兩個(gè)三角形，這既為以后在復(fù)雜圖形中有意識(shí)去尋找需要的全等三角形打下基礎(chǔ)，更方便批閱者；同時(shí)要注意頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，以防對(duì)應(yīng)關(guān)系出錯(cuò)；證全等所需的三個(gè)條件，條件不明顯的要先證明，最后用大括號(hào)括起來；每一步要填注理由，對(duì)證明方向明確、內(nèi)容變化少的題目，要能熟練地獨(dú)立思考證明，能在一個(gè)題目中用兩次全等證明過渡性結(jié)論和最終結(jié)論，、直角三角形時(shí)逐步加深難度，學(xué)會(huì)一個(gè)題目中證兩次全等，特別要學(xué)會(huì)用分析法有條不紊地尋找證題途徑，分析法目的性強(qiáng)，條理清楚，結(jié)合綜合法，這時(shí)的題目一般都不只一種解法，要求一題多解，比較優(yōu)劣，學(xué)會(huì)命題的證明，（包括圖形語(yǔ)言）的運(yùn)用能力，則在已知和未知間架起一座溝通的橋梁就要用到輔助線，這都有一定的難度，切勿前功盡棄，如“角平分線＋垂直＝全等三角形”.證明全等不外乎要邊等、角等的條件，因此在平時(shí)學(xué)習(xí)中就要積累存在或可推出邊等（或線段等）、.4 證明全等三角形的構(gòu)造法 所謂構(gòu)造法，就是指通過分析條件和結(jié)論充分細(xì)致，抓住問題的特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素，聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，然后變換命題，以此架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，但它常常表現(xiàn)出精巧、簡(jiǎn)捷、明快、新穎等特點(diǎn)，使數(shù)學(xué)解題突破常規(guī)，具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性.4．1構(gòu)造全等三角形的常用方法截長(zhǎng)補(bǔ)短法、平行線法（或平移法）、旋轉(zhuǎn)法、倍長(zhǎng)中線法、翻折法.4．1．1 截長(zhǎng)補(bǔ)短法（通常用來證明線段和差相等）“截長(zhǎng)法”即根據(jù)已知條件把結(jié)論中最大的線段分成兩段，使其中一段與較短線段相等，然后證明余下的線段與另一條線段相等的方法．“補(bǔ)短法”為把兩條線段中的一條接長(zhǎng)成為一條長(zhǎng)線段，然后證明接成的線段與較長(zhǎng)的線段相等，或是把一條較短的線段加長(zhǎng)，使它等于較長(zhǎng)的一段，然后證明加長(zhǎng)的那部分與另一較短的線段相等.例1 如圖（1）已知：正方形中，的平分線交于，求證： .簡(jiǎn)析：圖中沒有直接給出與問題有關(guān)的全等三角形，所以要延長(zhǎng)一條直線，構(gòu)造出全等三角形，根據(jù)角相等證明出三角形是等腰三角形，然后利用轉(zhuǎn)換思想，就可以證明出結(jié)果.證明:延長(zhǎng)至使∵是的平分線∴在和中∵∵∵∴ ∴∴是等腰直角三角形∴∴ ∴ 小結(jié)：線段的和差問題常常借助于全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，將不在一條直線的兩條（或幾條）線段轉(zhuǎn)化到同一直線上．證明一條線段等于另兩條線段之和（差）常見的方法是：延長(zhǎng)其中一條短線段，在上面上截取另一條短線段，再證明它們與長(zhǎng)線段相等，這種方法叫“補(bǔ)短法”．在長(zhǎng)線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下的線段等于另一條短線段，這種方法叫“截長(zhǎng)法”．證明兩條線段的和（差）等于另一條線段的常用方法就是這兩種．4．1．2平行線法（或平移法） 若題目中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線（平行且等于第三邊的一半），對(duì)直角三角形,有時(shí)可作出斜邊的中線．例2 如圖，在中，,平分交于點(diǎn)，平分交于，求證: 圖（3）說明:(1)本題可以在截取，連，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法．(2)本題利用“平行線法”的解法較多，舉例如下：① 如圖（2），過作交于，則證明解決．② 如圖（3），過作交于，交于，則證明和解決．③ 如圖（4），過作交的延長(zhǎng)線于，則需證明解決．④ 如圖（5），過作交于點(diǎn)，則只需證明解決．4．1．3旋轉(zhuǎn)法對(duì)題目中出現(xiàn)相等的線段有一個(gè)公共端點(diǎn)時(shí)，可嘗試用旋轉(zhuǎn)法來構(gòu)造全等三角形例3 如圖，設(shè)點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)任一點(diǎn)，試比較線段與的大小．圖（6）簡(jiǎn)析：題目雖然短，但涉及到的知識(shí)點(diǎn)很多．由于是等邊三角形，所以可以將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置（用到等量代換），連結(jié)，則，所以，則是等邊三角形，即，在中，因?yàn)?，所以．說明：由于圖形旋轉(zhuǎn)的前后，只是變化了位置，而大小和形狀都沒有改變，所以對(duì)于等邊三角形、正方形等特殊的圖形我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形解題．4．1．4倍長(zhǎng)中線法題目中若條件有中線，可將其延長(zhǎng)一倍，以構(gòu)造新的全等三角形，從而使分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)． 例4 如圖，在中，是它的中線，作交于點(diǎn)，使．說明線段與相等的理由．圖（7）簡(jiǎn)析：由于是中線，于是可延長(zhǎng)中線到，使，連結(jié)，則在和中，，所以(SAS)， 則，而，所以，又因?yàn)?，所以?，即．說明：要說明線段或角相等，通常的思路是說明它們所在的兩個(gè)三角形全等，而遇到中線時(shí)又通常通過延長(zhǎng)中線來構(gòu)造全等三角形．4．1．5翻折法若題設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對(duì)稱性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來構(gòu)造全等三角形．例5 如圖，已知：在中，，如果，求的面積．圖（8）解：以為軸將翻轉(zhuǎn)180186。，得到與它全等的，以為軸將翻轉(zhuǎn)180186。，得到與它全等的，、延長(zhǎng)線交于G，易證四邊形是正方形，設(shè)它的邊長(zhǎng)為，則，在中，,解得，則，所以．說明：當(dāng)從題目已知中不能直接明確的求出問題時(shí)，我們可以從一般圖形通過翻轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥獾膱D形，用簡(jiǎn)便的方法求解，變換可以有一步或幾步．4．2由角平分線構(gòu)造全等三角形不管是兩個(gè)圖形軸對(duì)稱還是軸對(duì)稱圖形，我們都不難發(fā)現(xiàn)軸上一點(diǎn)（此點(diǎn)作為頂點(diǎn)）與對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的角被軸平分，方便我們?cè)谧鲱}中如果遇到角平分線我們就會(huì)聯(lián)想到，以角平分線為軸構(gòu)造對(duì)稱（全等），從而把線段、角轉(zhuǎn)移達(dá)到解題目的．例6 如圖，等腰梯形中，，翻折梯形，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕分別交、于點(diǎn)、．若，．求的長(zhǎng)．　　 　　　　　　 　　　 圖（9）　　　　　　　　 　圖（10）解：由題意得　根據(jù)翻折重合，得，