高中三角函數(shù)最值問(wèn)題的一些求法(編輯修改稿)
2025-04-22 05:41 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 時(shí),其積取最大值.若個(gè)正數(shù)的積一定時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)它們相等時(shí),其和取最小值.例1:當(dāng),求的最大值解析:因?yàn)? ,所以于是 = 所以 即說(shuō)明：解答此題后有一個(gè)新的體會(huì)就是研究形如（且）的值域是十分重要的,下面來(lái)看一下:已知函數(shù)（且）,求其最大值.解:因?yàn)?，所以考察上式根?hào)中的個(gè)因式之和為。因而由平均值不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，亦即時(shí)，等號(hào)成立故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值例2:求函數(shù)的最小值。分析：本題看似簡(jiǎn)單，但若直接求不容易，考慮，則。若求出的范圍，則問(wèn)題也就解決了。解： = 每且僅當(dāng) 即時(shí)。所以 說(shuō)明： 這是一個(gè)特殊的問(wèn)題，下面運(yùn)用本題的解法來(lái)研究它的一般情形的最值問(wèn)題。設(shè),求函數(shù)的最小值。解：由 每且僅當(dāng)，即時(shí)，所以 說(shuō)明：像此類題，一般比較復(fù)雜，大部分可能無(wú)法用其它方法求出，首先必須將它變形符合形式，再考慮是否滿足一正，二定，三相等的條件，都滿足即可求出。關(guān)鍵的是靈活變形。十、對(duì)有約束條件的三角函數(shù)的最值求法例1：設(shè)、皆為銳角，求函數(shù)之最大值。解析：因?yàn)椋是? 例2：在中，求函數(shù)的最大值解析：因?yàn)?、是三角形?nèi)角，即， 所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故 說(shuō)十一、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例：已知，求的最小值。解：，令得：，而，則，而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)。例：求函數(shù)的最大值和最小值。1．運(yùn)用三角函數(shù)的有界性，即來(lái)求解，即將原式變形為，所以變?yōu)閬?lái)進(jìn)行求解即可。即有，即。2．將函數(shù)式化為部分分式，使分子出現(xiàn)常數(shù)也容易考慮出它的最值，即將原式變形為。當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有。當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有。3．將函數(shù)式直接變形為，其實(shí)求法就跟上一題一樣。4．考慮萬(wàn)能代換，使轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)的求最值問(wèn)題。令，則有，所以，即此關(guān)于的二次方程應(yīng)有實(shí)根，故，解之得，故有5．將以上所得的代數(shù)函數(shù)考慮用基本不等式。即將式子化為，當(dāng)為正值時(shí)，有。所以，當(dāng)為負(fù)值時(shí)，有。所以綜上所述：三角函數(shù)最問(wèn)題可歸結(jié)以為幾大類型：1
電大資料相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1