機(jī)器人避障問題的解題分析建模集訓(xùn)資料(編輯修改稿)
2025-04-22 01:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 圖17），設(shè)切點(diǎn),圓心,圓心()，半徑為,求切點(diǎn)的坐標(biāo)。解法如下：直線的斜率為，的直線方程為，因?yàn)?所以DE的直線的斜率也為在DE直線上找一點(diǎn)，則DE直線方程為,即，又因?yàn)榍悬c(diǎn)D在圓上，滿足圓的方程，故，建立方程組，解方程可求得D點(diǎn)的坐標(biāo), MATLAB程序見附錄7。 如果公切線在障礙物中心連線的下方，模型需要做以下變換再計(jì)算。根據(jù)以上模型可計(jì)算出、以及的所有切點(diǎn)坐標(biāo)，直線段長(zhǎng)度和圓弧長(zhǎng)度，計(jì)算結(jié)果見附錄8。4 最短時(shí)間路徑模型的建立和求解機(jī)器人的行走速度與轉(zhuǎn)彎半徑有關(guān)，假設(shè)行走速度與轉(zhuǎn)彎半徑之間滿足（其中為直線行走速度），那么與最短路徑問題不同，轉(zhuǎn)彎半徑不再是越小越好，轉(zhuǎn)彎半徑越小，雖然行走的距離也越短，但是速度會(huì)變慢，這樣行走速度反而可能會(huì)增加，因此，應(yīng)選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)彎半徑，使得行走時(shí)間最短[5]。 以為例，研究最短時(shí)間路徑問題。以機(jī)器人從原點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)的時(shí)間最少為目標(biāo)建立優(yōu)化模型。轉(zhuǎn)彎半徑越大速度越快，走最短距離的時(shí)間不一定是最短的到達(dá)時(shí)間，因此應(yīng)對(duì)轉(zhuǎn)彎半徑、轉(zhuǎn)彎所走的圓弧的圓心進(jìn)行重新搜素，建立非線性規(guī)劃模型[6]。圖18如圖18，起點(diǎn)，目標(biāo)點(diǎn)，障礙物5的頂點(diǎn)，切點(diǎn)，轉(zhuǎn)彎圓弧的圓心，圓心角為，半徑為，的路徑為，時(shí)間為.則 建立目標(biāo)函數(shù)編寫LINGO程序，應(yīng)用LINGO13求解，計(jì)算程序見附錄9，計(jì)算結(jié)果（如表3）：表3 的最短時(shí)間路徑路徑起點(diǎn)坐標(biāo)終點(diǎn)坐標(biāo)圓弧圓心坐標(biāo)圓弧半徑總路程總時(shí)間5 模型的評(píng)價(jià)與推廣 模型的優(yōu)點(diǎn)（1）將機(jī)器人避障行走路線用若干個(gè)線圓結(jié)構(gòu)組成建立的模型各點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度都能直接得出結(jié)果，用解析幾何方法進(jìn)行計(jì)算，精確度較高。（2）運(yùn)用多個(gè)方案進(jìn)行優(yōu)化，在相對(duì)優(yōu)化中能取得最優(yōu)解。（3）模型簡(jiǎn)單易懂，便于實(shí)際檢驗(yàn)及應(yīng)用。 模型的缺點(diǎn)（1）此模型需要全局優(yōu)化來求解，求解結(jié)果往往因?yàn)榈a(chǎn)生一定的誤差，但是這個(gè)誤差在可允許的范圍內(nèi)。（2）在障礙物較多時(shí)，且形狀不規(guī)則時(shí)，模型顯得較為繁瑣。非線性變量越來越多會(huì)導(dǎo)致求解時(shí)間越來越長(zhǎng)，解的可求性也越來越差。 模型的改進(jìn)及推廣本題只涉及12個(gè)障礙物，如果障礙物較多，到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的路徑就較多，這時(shí)可應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算最短路。如果障礙物形狀較復(fù)雜，單純用解析幾何知識(shí)計(jì)算較困難，模型需要進(jìn)一步改進(jìn)。機(jī)器人避障模型可以應(yīng)用于貨物運(yùn)輸、管道輸送等領(lǐng)域，應(yīng)用此模型能較好地解決運(yùn)輸線路最短、輸送管道最短等問題。參考文獻(xiàn)[1] :[20120908][2] :[20130228] [3] [M].西安:西安科學(xué)出版社,1984.[4] 章棟恩，[M].北京：電子工業(yè)出版社，2010.[5][J].數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用,2013,2(1):5359.[6] [J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2007,27(8).[7] [J].計(jì)算機(jī)與應(yīng)用化學(xué), 2010, 27(7).[8] [J].大連工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2011, 30(2).[9] :復(fù)旦大學(xué)出版社，2011.附錄線圓結(jié)構(gòu)類型一的MATLAB程序例如：求圖7中的最短路徑，為，半徑，起點(diǎn)，目標(biāo)點(diǎn),障礙物頂點(diǎn)，MATLAB算法如下：在MATLAB中編寫M文件：function L=fun(x1,y1,x2,y2,x3,y3)a=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)。b=sqrt((x3x1)^2+(y3y1)^2)。c=sqrt((x3x2)^2+(y3y2)^2)。alpha1=acos((b^2+c^2a^2)/(2*b*c))。alpha2=acos(10/b)。alpha3=acos(10/c)。theta=2*pialpha1alpha2alpha3。L=sqrt(b^210^2)+sqrt(c^210^2)+10*theta。在命令窗口鍵入：fun(0,0,300,300,80,210)ans = 線圓結(jié)構(gòu)類型三的MATLAB程序比如圖9中計(jì)算從起點(diǎn)繞過障礙物5，障礙物4，到障礙物4與障礙物12的中點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度，起點(diǎn),障礙物5的頂點(diǎn)（230，60），障礙物4的頂點(diǎn)（410,100），障礙物4與障礙物12的中點(diǎn)（455,150）。編寫MATLAB程序輸入起點(diǎn)、目標(biāo)點(diǎn)、兩障礙物頂點(diǎn)坐標(biāo)及半徑。 編寫M文件：Function L=fun1(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) a=sqrt((x4x1)^2+(y4y1)^2)。 b=sqrt((x4x3)^2+(y4y3)^2)。 c=sqrt((x3x1)^2+(y3y1)^2)。 d=sqrt((x3x2)^2+(y3y2)^2)。 e=sqrt((x4x2)^2+(y4y2)^2)。 alpha1=acos((b^2+c^2a^2)/(2*b*c))。beta1=acos(10/c)。theta1=3*pi/2alpha1beta1。 alpha2=acos((b^2+e^2d^2)/(2*b*e))。 beta2=acos(10/e)。theta2=3*pi/2alpha2beta2。L=sqrt(c^210^2)+10*theta1+b+10*theta2+sqrt(e^210^2)。在命令窗口輸入 fun1(0,0,455,150,230,60,410,100)結(jié)果為ans = 過A點(diǎn)圓心編寫LINGO程序[5,6]model:min=((m80)^2+(n210)^2400)^(1/2)+((m220)^2+(n530)^2)^(1/2)+10*(@acos(1)+@atan((n530)/(m220))@atan((y2y1)/(x2x1)))。((x2x1)^2+(y2y1)^2)^(1/2)=((m
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